Enseignement de spécialité en TS3 et TS6 (2015-2016)

Activité sur l'algorithme d'Euclide étendu: on sait que si on se fixe deux entiers non simultanément égaux à 0, alors il existe au moins un couple d'entiers (u;v) tel que au+bv=pgcd(a;b). Dans cette activité, on donne une méthode algorithmique basée sur l'algorithme d'Euclide (d'où son nom: algorithme d'Euclide étendu) qui permet de déterminer un tel couple. Rappellons qu'un tel couple constitue ce qu'on appelle un couple de coefficients de Bezout, du nom du mathématicien qui les a rendu célèbre, mais pas découvert!! En fait, leur découverte est due au mathématicien Claude-Gaspard Bachet de Méziriac.

Etienne Bézout (1730-1783, algébriste)

Claude-Gaspard de Méziriac (1581-1638, poète et mathématicien)

Activité sur la preuve du théorème de Gauss et de l'un de ses corollaires; application à l'étude des équations diophantiennes de la forme ax+by=c

Activité sur le petit théorème de Fermat et applications

Pierre de Fermat (1605-1665), juriste toulousain

Dans cette activité, on démontre de plusieurs façons le petit théorème de Fermat suivant (puis on en donne quelques applications):

Théorème (petit théorème de Fermat): Soit p un nombre premier. Soit a un entier non divisible par p. Alors a^(p-1) =1 mod p.

(Note: ce théorème a été généralisé par Euler via l'indicatrice d'Euler)

La première preuve est "directe" et la seconde se fait par récurrence (via la formule du binôme de Newton). On montre aussi le corollaire suivant de ce théorème:

Corollaire: Soient p un nombre premier et a un entier. Alors a^p = a mod p.

On parle du "petit" théorème de Fermat par rapport au "grand théorème de Fermat" qui affirme que pour n>2 entier, l'équation x^n+y^n=z^n n'a pas de solution non triviale dans Z. On trouve mention de ce résultat dans une annotation marginale d'un livre de Fermat qui déclarait ne pas pouvoir le montrer par manque de place. On est certain aujourd'hui que Fermat ne pouvait pas en avoir une preuve complète. Des générations de mathématiciens ont cherché à en donner une preuve, en vain. Ce n'est qu'en 1994 que Wiles en donnait une preuve. Signalons néanmoins que des cas particuliers de ce théorème avait été démontrés. Par exemple, on a le cas particulier suivant:

Théorème (Sophie Germain, 1823): Soit p un nombre impair tel que 2p+1 soit premier (un tel nombre premier p est appelé nombre premier de Sophie Germain). Alors l'équation l'équation x^p+y^p=z^p n'a aucune solution non triviale.

Signalons la conjecture suivante:

Conjecture: Il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain.

Activité sur les nombres de Fermat: Dans cette activité, on commence par montrer que si m>=2 est un entier tel que 2^m+1 soit un nombre premier, alors m est nécessairement une puissance de 2. Pour n>=0 entier, on appelle alors n-ième nombre de Fermat, le nombre noté F_{n} et défini par

F_{n}=2^{2^n}+1. Dans cette activité, on montre les résultats suivants:

les nombres de Fermat sont premiers entre eux deux à deux (on retrouve en particulier qu'il y a une infinité de nombres premiers), que le chiffre des unités de F_{n} est 7 si n>=2. Enfin, on montre un théorème d'Euler sur les diviseurs premiers de F_{n}:

Théorème (Euler): Soit p un diviseur premier de F_{n}. Alors p = 1 mod 2^{n+1}.

En particulier, en étudiant la primalité de F_{5}, Euler en est venu à constater que le nombre premier 641 divise F_{5} qui n'est donc pas premier. Il s'y est intéressé car Fermat avait conjecturé que tous les nombres F_{n} étaient premiers. Le fait que 641 divise F_{5} a donc infirmé cette conjecture de Fermat.

Une activité complémentaire sur le théorème de Lucas (concernant les nombres de Fermat)

Activités sur le chiffrement affine

Activité sur les nombres de Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648, religieux français)

Religieux français, il est aussi mathématicien et philosophe ; il correspondait avec Fermat et Descartes ou encore Blaise Pascal. Son apport aux sciences physique fut .également important, notamment par son travail sur les ondes et la propagation du son. Par ailleurs, il dessina le premier les plans d'un sous-marin (prénom prédestiné ?). Les nombres de Mersenne sont par d.éfi.nition les nombres de la forme Mp = 2^p-􀀀1 avec

p nombre premier. Ces nombres étudiés dés l'antiquité, ont pris le nom de Mersenne quand ce dernier fournit une liste de ceux d'entre eux qui sont premiers jusqu'à p = 257. Bien que cette liste fut fausse, Mersenne savait que tous les nombres Mp ne sont pas tous

premiers. Soulignons la conjecture suivante qui reste à ce jour non démontrée:

Conjecture: Il existe une infinité de nombres de Mersenne qui sont premiers.

Dans cette activité, on commence par montrer que si a^n-1 est un nombre premier (avec a>=2 entier et n>=2 entiers), alors a=2 et n est un nombre premier. On montre aussi que cette condition n'est pas suffisante (par exemple M_{11} n'est pas premier). On montre ensuite le théorème suivant:

Théorème (Fermat): Soit p un nombre premier impair. Soit q un diviseur premier du nombre de Mersenne M_{p}. Alors il existe un entier k tel que q=2kp+1.

Chapitre n°2: Les matrices

Feuilles d'exercices:

Problémes du BAC sur les matrices (à partir de l'exercice n°4)

Feuiiles d'exercices n°2

Exercice de spécialité extrait du sujet d'Amérique du sud de novembre 2015

Exercice de spécialité extrait du sujet de Métropole de juin 2015

Exercice de spécialité du sujet Pondichéry de juin 2016

Activités et thèmes de recherche:

Exemple de calculs des puissances d'une matrice carrée avec application à l'étude de suites

Activités sur les nombres triangulaires (activité mélangeant arithmétique et matrices)

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