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Chapitre n°1: Les suites numériques
Feuille d'exercices sur la notion de démonstration par récurrence
Exercices d'application sur le théorème de convergence monotone
Problème sur la divergence de la suite harmonique et application géométrique
16 Problèmes extraits bac (et compléments) sur les suites traités en classe et leurs corrigés
Chapitre n°2: Les probabilités (conditionnement, indépendance)
Activité sur les arbres de probabilités
Exercices (et leurs corrigés ) sur le Monthy Hall et le paradoxe des prisonniers;
Problèmes type BAC sur les probabilités conditionnelles; D'autres problèmes type BAC;
Encore des exercices;
Exemple de deux variables aléatoires de covariance nulle mais non indépendantes (cela montre que la condition Cov(X,Y)=0 est une condition nécessaire mais non suffisante pour assurer l'indépendance de deux variables aléatoires).
Exercices de combinatoire.
Problème sur la ruine du joueur
Chapitre n°3: Limites, continuité, dérivabilité
Polycopié du cours
Une feuille d'exercices sur les calculs de limite et la notion de continuité
Un problème sur l'étude d'une fonction; un autre problème et son corrigé
Problèmes sur l'application du théorème des valeurs intermédiaires (on y montre notamment le joli résultat suivant: une fonction continue sur un intervalle est injective si et seulement si elle est strictement monotone)
Encore deux problèmes: le premier porte sur l'étude des variations d'une fonction avec au préalable l'étude du signe d'une fonction auxiliaire; le second porte sur la démonstration d'un théorème de Bolzano qui énonce ceci:
Bernard Bolzano (1781-1848, mathématicien hongrois)
"Si la différence de deux fonctions continues sur un intervalle change de signe, alors il existe au moins un élément de cet intervalle en lequel ces fonctions ont la même valeur." Ce résultat est le théorème n°2 de son mémoire de 1817. C'est dans ce mémoire qu'il présente sa preuve du théorème des valeurs intermédiaires. Pour cette preuve, il utilise le théorème dit aujourd'hui de "Bolzano-Weierstrass", qui affirme ceci:
"De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente"
Pour sa démonstration, il découvrait au passage un critère de convergence des suites réelles, redécouvert plus tard par le mathématicien Augustin-Louis Cauchy, et qui stipule qu'une suite de nombres réels converge si et seulement si pour tout epsilon>0, il existe un entier naturel N tel que pour tout entier p et q supérieurs ou égaux à N, la distance entre le terme d'indice p et q de cette suite sera inférieur à epsilon. Intuitivement, cela signifie qu'une suite de nombres réels converge si et seulement si ses termes s'agglutinent au fur et à mesure que leur indice augmente. Pour une preuve, cliquer sur ce lien qui propose d'en faire une démonstration sous forme d'exercice (hors programme)
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897),
mathématicien français mathématicien allemand
Il faut savoir que Bolzano fut l'un des premiers à donner une définition correcte de la continuité d'une fonction en un point et qui est la définition que l'on utilise aujourd'hui. Cauchy en était très proche mais son vocable faisait encore appel à la notion d'infiniment petit, notion floue à l'époque et qu'il fallait donc proscrire pour tenir un raisonnement rigoureux.
Pour terminer sur Bolzano, rappelons que l'on a vu en cours, que si f est dérivable en a, alors elle y est continue. On a aussi montré que la réciproque est fausse (considérer par exemple la fonction valeur absolue en 0). Bolzano exhiba même un exemple de fonction continue sur [0;1] et qui n'y est nulle part dérivable (cette fonction est appelée aujourd'hui "escalier du diable de Bolzano" et fait la joie des poseurs de Khôlle en classe préparatoire).
Pour les curieux qui sont courageux, vous pouvez en cliquant sur ce lien, accéder au sujet de mathématiques de l'épreuve
n°1 du CAPES de 2011; le problème n°2 de cette épreuve porte sur l'étude du théorème des valeurs intermédiaires; amusez vous à l'étudier!!! En rapport avec cela, un autre complément (hors programme; juste pour le plaisir) sur la propriété des valeurs intermédiaires avec un exemple de fonction non continue sur R la vérifiant. Cela montre donc que cette propriété n'est pas caractéristique des fonctions continues sur un intervalle. On admettra même qu'il existe des fonctions continues nulle part sur leur intervalle de définition et qui pourtant vérifie cette propriété (!!).
Deux problémes sur la dérivation (pour le problème n°1: un algorithme écrit sous Algobox qui permet d'obtenir une valeur approchée de alpha à 0,001 près par dichotomie)
Isaac Newton (physicien et mathématicien anglais (1642-1727))
Un problème (étudié en classe) sur la méthode de Newton (méthode des tangentes); vous trouverez par ce lien un problème (hors programme; niveau de classe de mathématiques supèrieures) que j'ai construit sur une étude "générale" de la méthode des tangentes de Newton avec son corrigé et que vous pouvez étudier pour le plaisir (mais si!!!). Cette méthode consiste à chercher à obtenir une valeur approchée d'une solution alpha d'une équation f(x)=0 dans [a;b], où f est une fonction deux fois dérivable (entre autres hypothèses) sur [a;b]. Elle passe par la construction d'une suite (xn) résumée dans l'illustration suivante:
Chapitre n°4: Les nombres complexes
Le cours sur les nombres complexes
Comme on l'a vu en classe, on dispose du théorème suivant dit de "D'Alembert-Gauss" (ou théorème fondamental de l'algèbre) et qui nous dit que "tout polynôme de degré au moins égal à 1 et à coefficients complexes, peut se factoriser en produit de polynômes de degrés 1 à coefficients complexes". En particulier, toute équation algébrique de degré n>=1 et à coefficients complexes possède n racines complexes (comptées avec multiplicité)
Jean-le-Rond d'Alembert (1717-1783), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), philosophe et mathématicien français mathématicien Allemand
Rien qu'à lui seul ce théorème justifie l'utilisation des nombres complexes. Gauss le considérait d'ailleurs à ce point fondamental qu'il en donna plusieurs démonstration au cours de sa vie. C'est d'ailleurs lui qui en donna la première démonstration rigoureuse (dans sa thèse de doctorat). La preuve de d'Alembert était incomplète en ce sens qu'elle admettait qu'un polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle (d'Alembert ne disposait pas encore du théorème des valeurs intermédiaires).
C'est devenu d'ailleurs un jeu de donner des démonstrations différentes de ce théorème. Citons par exemple la preuve du mathématicien Joseph Liouville (devenue un classique).
Joseph Liouville (1809-1882), mathématicien français
Liouville raisonne par l'absurde. Il suppose donc l'existence d'un polynôme P de degré au moins 1, à coefficients complexes qui ne s'annule pas sur C. Il considère alors la fonction f=1/P. Une telle fonction est holomorphe sur C (c'est à dire dérivable sur C) et il montre aussi qu'elle est bornée. Or un théorème de Liouville lui-même montre qu'une fonction holomorphe et bornée sur C est constante. Donc f, et donc P est constant: absurde. Pas mal n'est-ce pas ?
En fait, il y a même des démonstrations plus simples. Une des plus simples démonstration est la suivante. On se donne un polynôme P à coefficients complexes et de degré n>=1. On suppose qu'il ne s'annule pas sur C. On considère alors la fonction |P|, qui à z nombre complexe associe le module de P(z). On montre alors que cette fonction admet une valeur minimale |P(z0)|, puis que si elle est non nulle, alors on peut trouver un nombre complexe z1 tel que |P(z1)|<|P(z0)|, ce qui est absurde.
Une autre démonstration moins connue mais très élégante peut être obtenue par la théorie de Galois (la découverte de ces travaux doit d'ailleurs beaucoup à Liouville: voir lien; pour une introduction (hors programme) à ses travaux, voir lien)
Evariste Galois (1811-1832), mathématicien génial, mort en duel à 20 ans
Mais revenons à Gauss. Gauss est à l'origine de l'une des constructions modernes de l'ensemble des nombres complexes (il y en a d'autres). Il considère l'ensemble des nombres complexes comme l'ensemble des couples de nombres réels (a;b). Il munit cet ensemble des deux lois de composition interne suivante:
il définit sur C l'addition suivante (a;b)+(c;d)=(a+c;b+d) et la multiplication suivante: (a;b)x(c;d)=(ac-bd;ad+bc);
On vérifie alors que (C,+,X) est un "corps". On identifie aussi chaque nombre réel a au couple (a;0). Plus précisément, on considère la fonction f définie sur R à valeurs dans C, qui au nombre réel a, associe le couple (a;0). Une telle application constitue un isomorphisme de corps de R vers f(R). Ainsi C "contient" le corps des nombres réels (en ce sens qu'il contient f(R) isomorphe à R). Avec cette identification, on note le couple (a;0) plus simplement par a.
On pose aussi que i=(0;1). Alors, on a i²=ixi=(0;1)x(0;1)=(-1;0)= -1. De plus, soit z un nombre complexe. Il existe donc des nombres réels a et b tels que
z=(a;b)=(a;0)+(0;b)=(a;0)+(0;1)(b;0)=a+ib avec l'identification précédente. Ainsi tout nombre complexe peut se mettre sous la forme z=a+ib, a, b réels. Il est facile de vérifier que cette écriture est unique. En effet, s'il existe d'autres nombres réels a' et b' tels que z=a'+ib', alors z=(a';b'), donc (a;b)=(a';b'), donc a=a' et b=b'.
Feuilles d'exercices:
Feuille d'exercices n°1 sur les nombres complexes
Feuille d'exercices n°2 (dont des problèmes ouverts) sur les nombres complexes
Exercices du BAC 2015; Exercices du BAC 2014; Exercice sur les nombres complexes du sujet de France métropolitaine de juin 2014
Un problème pour réviser; d'autres problèmes du BAC pour réviser; un autre exercice pour réviser
Napoleon Bonaparte (1769-1821), stratège de génie, empereur des français
Un problème sur la démonstration d'un théorème attribué à sa majesté Napoléon Bonaparte. L'énoncé de ce théorème est le suivant:
Théorème: Considérons trois points distincts A, B et C. Sur les côtés du triangle ABC on construit trois triangles équilatéraux. Les centres de gravité de ces trois triangles forment un triangle équilatéral.
Bien que publié peu de temps après la mort de l'empereur (en 1825), il n'y a aucune raison objective de penser que ce théorème soit effectivement de Napoléon. Peut-être qu'un esprit facétieux, connaissant l'intérèt de Napoléon pour la géométrie a t-il voulu rendre hommage au génial vainqueur de la campagne d'Egypte à travers le profil de ces trois pyramides que l'on obtient si on réalise la configuration du théorème précédent.
Chapitre n°5: La fonction exponentielle
Cours sur la fonction exponentielle
Un problème sur la fonction exponentielle (tiré du sujet du BAC des centres étrangers de juin 2010); des liens vers d'autres problèmes tirés du BAC: lien1, lien2 (tiré du sujet de Nelle Calédonie de novembre 2013), lien3 et la courbes annexes(Antilles-Guyane de juin 2013), lien4 (Amérique du sud de novembre 2013), lien5
Un problème pour déterminer les fonctions de sous-tangente constante
Des activités qui permettent de donner d'autres caractérisations de la fonction exponentielle. Par le cours, on sait qu'il existe une unique fonction dérivable sur R, qui est sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0. Cette unique fonction, par définition est la fonction exponentielle notée exp. Dans ces activités, on démontre les théorèmes suivants qui permettent de définir autrement la fonction exponentielle (à condition bien sûr de définir pour les deux dernières au préalable le nombre d'Euler e indépendamment de la fonction exp: voir l'exercice n°2 de ce lien).
Théorème A (version faible): La fonction exp est la seule fonction dérivable sur R telle que f'(0)=1 et telle que pour tout réel x et y on ait f(x+y)=f(x)f(y).
Théorème A (version forte): La fonction exp est la seule fonction définie sur R, dérivable en 0, telle que f'(0)=1 et telle que pour tout réel x et y on ait f(x+y)=f(x)f(y).
Théorème B (version faible): La fonction exp est la seule fonction dérivable sur R telle que f(1)=e et telle que pour tout réel x et y on ait f(x+y)=f(x)f(y).
Théorème B (version forte): La fonction exp est la seule fonction définie sur R, dérivable en 0, telle que f(1)=e et telle que pour tout réel x et y on ait f(x+y)=f(x)f(y).
Un sujet du BAC pour réviser (Polynésie, septembre 2010)
Chapitre n°6: La fonction logarithme Népèrien
Cours "à trous" sur la fonction ln (première partie); la seconde partie est constituée par les activités ci-dessous sur des caractérisations fonctionnelles de la fonction ln.
John Napier (1550-1617, Théologien), inventeur des logarithmes
Trois problèmes du BAC (deux sur la fonction et un sur la fonction exp); un autre problème sur la fonction ln
Encore trois autres problèmes (du BAC) sur la fonction ln
Activité sur des caractérisations de la fonction ln. On y démontre les théorèmes suivants:
Théorème (version faible): Soit f une fonction à valeurs réelles, définie et dérivable sur R*+. Alors pour tout nombre réel x et y on a f(xy)=f(x)+f(y) si et seulement s'il existe un nombre réel k tel que f=k*ln
Corollaire: Soit f une fonction à valeurs réelles, définie et dérivable sur R*+. Alors pour tout nombre réel x et y on a f(xy)=f(x)+f(y) et f(e)=1 si et seulement si f=ln.
Théorème (version forte): Soit f une fonction à valeurs réelles, définie sur R*+ et dérivable en 1. Alors pour tout nombre réel x et y on a f(xy)=f(x)+f(y) si et seulement s'il existe un nombre réel k tel que f=k*ln
Corollaire: Soit f une fonction à valeurs réelles, définie sur R*+ et dérivable en 1. Alors pour tout nombre réel x et y on a f(xy)=f(x)+f(y) et f(e)=1 si et seulement si f=ln.
Chapitre n°7: Géométrie dans l'espace
Activités associées au cours:
Dans cette activité, on donne une condition nécessaire et suffisante pour que deux droites de l'espace soient coplanaires
Activité sur l'étude de l'intersection de deux plans
Activité sur l'intersection d'une droite et d'un plan
Exercices:
Feuille d'exercices d'application
Feuille d'exercices extraits du BAC
Chapitre n°8: Calcul intégral
Activités:
*Activités sur la démonstration des propriétés fondamentales de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment (relation de Chasles, linéarité de l'intégrale, positivité de l'intégrale, etc...)
*Activités sur l'intégrale d'une fonction paire ou impaire sur un segment symétrique par rapport à 0, sur l'intégrale d'une fonction périodique sur un segment de longueur la période; exemples
*Activité sur la méthode des rectangles et quelques problèmes du BAC associés:
Polynésie (juin 2013) , Amérique du sud (novembre 2010), France septembre 2012
Pour le plaisir (si !!!), en complément de la méthode des rectangles, un article sur l'énoncé et la preuve du théorème de Riemann (Hors programme; niveau classe préparatoire); je l'ai rédigé de sorte qu'elle soit lisible en TS; si vous êtes curieux......
Et en supplément, un joli petit problème sur l'estimation de l'erreur commise pour une fonction C1 (i.e. à dérivée continue)
*Activité sur les calculs de volume de solide de révolution
Problèmes: Preuve (avec corrigé) via le calcul intégral qu'une certaine suite admet pour limite Pi (joli petit problème!!)
Problèmes extraits du BAC:
France (juin 2014) , Amérique du nord (mai 2014), liban (mai 2014), Antilles-Guyane (septembre 2015), Pondichéry (avril 2010)
Pour réviser (en plus de ce qui précède!) : exercices sur le thème "suites et intégrales", AG juin 2014, Polynésie juin 2014, Inde avril 2014, France juin 2015, AdN mai 2015
Chapitre n°9:les lois normales
Cours sur les lois normales
Activités sur l'utilisation de la calculatrice
Problèmes du BAC sur les lois normales
Chapitre n°10:Lois uniformes et exponentielle
Cours sur la loi exponentielle et la loi uniforme
Un problème du BAC sur la loi exponentielle
Chapitre n°11:Trigonométrie
Problèmes de révision effectués en classe pour le BAC: Pondichéry (avril 2016), Nouvelle-Calédonie (mars 2016), Polynésie (septembre 2015), Antilles-Guyane (septembre 2015), Liban (mai 2016), Amérique du nord (juin 2016), Amérique du sud (Novembre 2015), France (juin 2015)
Pour les révisions: rendez vous lundi matin devant la salle des professeurs du bâtiment E à 10h (pour travailler jusqu'à 15h au moins); cette salle est la deuxième à droite en sortant de l'escalier principal). On fera notamment le sujet de centres etrangers de cette semaine et celui de polynésie de cette semaine et d'autres intéressants.
Annexe: liste des ROC
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