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Métodos de Runge Kutta
Métodos de Runge Kutta
Los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos numéricos iterativos, tanto explícitos como implícitos, utilizados para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Son ampliamente empleados en diversas áreas como la física, la ingeniería y la simulación, debido a su eficiencia y capacidad para alcanzar alta precisión.
Runge Kutta 4
Runge Kutta 4
Uno de los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutta de cuarto orden, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias.
El método de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la forma explícita:
Y es sumamente útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los métodos convencionales (como separación de variables). Hay variaciones en el método de Runge-Kutta de cuarto orden pero el más utilizado es el método en el cual se elige un tamaño de paso h y un número máximo de iteraciones n.
El método RK4 para este problema esta dado por la siguiente ecuación:
Así, el siguiente valor (yi+1) es determinado por el presente valor (yi) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:
k1 es la pendiente al principio del intervalo;
k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto xi + h/2.
k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y
k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
Vamos el siguiente ejemplo sencillo para ecuaciones diferenciales de primer orden
Si repetimos esto para cada punto de la ecuacion diferencial tenemos la siguiente solución:
Algoritmo en Geogebra
Algoritmo en Geogebra
GeoGebra ofrece una herramienta interactiva para visualizar y experimentar con el método de Runge-Kutta de cuarto orden, lo que facilita la comprensión de este importante método numérico para resolver ecuaciones diferenciales.
Recordemos que RK4 es un método de integración numérica que aproxima la solución de una ecuación diferencial en un punto dado utilizando una combinación ponderada de cuatro evaluaciones de la función derivada en diferentes puntos dentro del intervalo. Estas evaluaciones se denominan k1, k2, k3 y k4.
Pasos del algoritmo RK4:
Definir la ecuación diferencial: Se necesita una ecuación de la forma dy/dx = f(x, y) y una condición inicial y(x₀) = y₀.
Definir el tamaño del paso (h): El tamaño del paso determina la precisión y la longitud de la trayectoria de aproximación.
Calcular k1: k₁ = h * f(x₀, y₀).
Calcular k2: k₂ = h * f(x₀ + h/2, y₀ + k₁/2).
Calcular k3: k₃ = h * f(x₀ + h/2, y₀ + k₂/2).
Calcular k4: k₄ = h * f(x₀ + h, y₀ + k₃).
Calcular la siguiente aproximación de y: y₁ = y₀ + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) / 6.
Repetir para los siguientes puntos: Se repiten los pasos 3-7 para calcular la solución en los siguientes puntos x₁, x₂, etc.
En esta aplicación, puedes:
Ingresar la ecuación diferencial: Se introduce la función f(x, y) en la aplicación.
Ajustar el tamaño del paso (h): Se puede modificar el valor de h para ver cómo afecta la precisión de la solución.
Establecer la condición inicial: Se define el punto inicial (x₀, y₀).
Observar las etapas de RK4: Se visualizan las cuatro evaluaciones de la función (k₁, k₂, k₃, k₄) y la trayectoria de la solución estimada por RK4.
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