黄金比を求める三角形

答が黄金比になる三角形の問題があります。

底角が72°の二等辺三角形です。星形五角形の一部でもあります。

これをどう作図するか。

実は複素数を用いれば簡単に描けます。

△ABCを、底辺はx軸上にとって適当に描いておきます。

いま、原点がBでｘ軸上にCがあるものとしましょう。

点Aの位置は、BCを72°回転させて長さに黄金比をかければよいわけですから

A.xy=gauss(complex(C)*(1+sqrt(5))/2*(cos(72°)+i*sin(72°)));

で決定できます。

点Cをドラッグすればそれに応じて頂点Aも移動します。

この図を見ながら、KeTCindyのスクリプトを書きます。

Addax(0);

Listplot([A,B,C,A]);

Letter([A,"n","A",B,"sw","B",C,"se","C"]);

これで、初めに示した図ができます。

次に解答図を作ります。

点を一つ取り(D) AC上に置いて△ABCと△BCDが相似になるようにします。

BC=BDで∠CBD=36°ですので、Aと同じようにすればDの位置を決定できます。

D.xy=gauss(complex(C)*(cos(36°)+i*sin(36°)));

さらに、BC=BD=AD の説明のために、それぞれの中点をとっておきます。

これは、中点の作図ツールで描くのがよいでしょう。

図は、先ほどの描き出し用の行をコメント文にしておいたものです。

解答図は、ACの長さをxとして、CD=x-1 を示す図です。長さを示す弓形を Bowdata()で描きます。

また、AD=BD=BC は各辺の中点としてとった点を白抜きで表示することにします。

点Dの名前も表示するので、先ほどの Letter() の最後に追加しておきます。

Letter([A,"n","A",B,"sw","B",C,"se","C",D,"ne","D"]);

Listplot([B,D]);

Bowdata([C,A],[1,0.5,"Expr=x","do"]);

Bowdata([C,D],[3,0.5,"Expr=x-1"]);

Ptsize(8);

Drawpoint("E,F,G",[0]);

Drawpoint()の最後の[０]が白抜きのためのオプションです。

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