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正多面体を平面で切断したときの切断面を描くCindyアプリケーションを作ります。
わかりやすいところで、中学でも学ぶ、立方体の断面を考えます。次のような図です。
まず設計をしましょう。
設計
(1) 正多面体は rpolyhedron() で面データを取得して描く。（色塗りなし）
(2) 辺のリストを作る。
(3) 正多面体の各辺と切断する平面の交点を求める。
(4) (3)で求めた交点を結んだ図をplate3d() で描く。
では，順にやっていきましょう。
(1) 正多面体の面データを取得して描く。
rpolyhedron() は面を塗った多面体を描くので，オプション "nodisp" をつけて，戻り値の面データを取得し，その第１要素の頂点リストを使ってVertexEdgeFace() で描きます。Nohiddenbyfaces() で陰線処理もしましょう。なお，後の都合があるので，１辺を２としたら，原点が中に入らないよう，中心を(2,2,2)になるように平行移動しておきます。
fd=rpolyhedron("1",6,2*sqrt(3),["nodisp"]);
pd=transfer3d(fd_1,["Trans=[2,2,2]"]);
VertexEdgeFace("1",[pd,fd_2]);
Nohiddenbyfaces("1","phe3d1","phf3d1",["dr,2"],["do"]);
(2) 辺のリストを作る。
println(pd);
とすると，頂点リストが確かめられます。
[[0,0,4],[4,0,4],[4,4,4],[0,4,4],[0,0,0],[4,0,0],[4,4,0],[0,4,0]]
とコンソールに表示されます。
fd の第２要素は面を表すデータです。これも println(fd_2) で表示してみましょう。
[[4,3,7,8],[4,8,5,1],[4,1,2,3],[6,2,1,5],[6,5,8,7],[6,7,3,2]]
立方体の６つの面を表しています。それぞれの数は，頂点の番号です。
この面を表すデータを用いて，１２個の辺のリストを作ります。
まず，面ごとに隣り合う２つづつをとって辺データを作ります。
辺のリストを sidelist とします。１つの面について４つの辺データを作り，これを６つの面についておこないます。
sidelist=[];
repeat(length(fd_2),s,
sd=append(fd_2_s,fd_2_s_1);
repeat(length(sd)-1,t,
v1=sd_t;
v2=sd_(t+1);
sidelist=append(sidelist,[pd_v1,pd_v2]);
);
);
ここで，３行目で sd=append(fd_2_s,fd_2_s_1); としているのは，始点を末尾に追加しているのです。
たとえば，面を表すデータが [1,2,3,4] のとき，辺は [1,2],[2,3],[3,4],[4,1] の４つになります。この４番目のペアを取得するためです。
これで２４個のデータができます。（println(sidelist) で表示できます。）辺の数は１２ですが、各辺とも２回ずつ数えているので２４個になるのです。
これを整理してもいいですが、面倒なので、そのままにしましょう。平面との交点を調べるときに、同じものが２つづつできることになりますが、そのあとで処理します。
(3) 正多面体の各辺と切断する平面の交点を求める。
切断する平面Sは、適当に３点を決めて作ります。ひとまず，[6,0,0],[0,6,0],[0,0,6] としておきます。
この３点で決まる平面と線分の交点は、interps()で求められます。辺リスト sidelist のそれぞれに対して、この関数で交点を求め、それをリストにします。sidelist の要素のそれぞれに処理を適用するので apply()が便利です。交点リストは intpt としましょう。(intersection point)
interps()は交点がない場合は[i,i,i]を返してきますので、[i,i,i]でなければ intpt に追加していきます。
p1=[6,0,0];
p2=[0,6,0];
p3=[0,0,6];
intpt=[];
repeat(length(sidelist),s,
pt=interps(p1,p2,p3,sidelist_s_1,sidelist_s_2);
if(pt!=[i,i,i],intpt=append(intpt,pt));
);
intpt=sort(intpt);
println(intpt); で結果を表示してみましょう。
[[2,4,0],[0,4,2],[0,4,2],[0,2,4],[0,2,4],[2,0,4],[4,0,2],[2,0,4],[2,4,0],[4,2,0],[4,2,0],[4,0,2]]
となっています。同じものが２つずつあります。そこで，sort() で並べ替えて，１つおきにとっていくことにします。たとえば次のようにします。
plist=[];
repeat(length(intpt),s,
if(isodd(s),plist=append(plist,intpt_s));
);
isodd(s) は sが偶数かどうかの判定です。sはrepeatで繰り返されるときの番号ですから、偶数ならplistに追加(append)していくことになります。
さて、これで、断面の頂点リスト
[[0,2,4],[0,4,2],[2,0,4],[2,4,0],[4,0,2],[4,2,0]]
ができました。交点６つの座標のリストです。
(4) (3)で求めた交点を結んだ図をplate3d() で描く。
Cindyscript の convexhull3d() を使うと，この点のリストに対して面データを作ることができます。convexhull3d()は，凸型多面体の頂点リストから面データを作るものです。いまの３個の頂点は同一平面上にありますが、これに１つ点を追加して凸型多面体にすると、それに対して面データを作ってくれます。原点が中に入らないようにしましたので，追加する点を原点にします。
pd0=convexhull3d(prepend([0,0,0],plist));
pd=[];
forall(pd0_2,if(!contains(#,1),pd=append(pd,#)));
先ほど得た plist の前に prepend() で [0,0,0] を追加します。こうすれば、交点がいくつでも，常に原点が１番になります。
convexfull3d() の戻り値をpd0 とします。pd0の第２要素が面データのリストです。
こんどは、この面データの全てを走査するのに forall() を使います。リスト pd0_2 の要素を最初から順に走査します。調べている要素は # で表されます。その中に 1 が含まれていなければ (!contains() !は否定）ppに追加します。実際にできるのは１つだけです。
最後にこの面を表す頂点の順序に従って、多角形の頂点リストを作ります。plist から指定された番号の点を順に拾っていきます。
pp=[];
repeat(length(pd_1),s,
nn=pd_1_s;
pp=append(pp,plist_(nn-1));
);
poly3d("1",pp,["Color=blue"]);
plate3d("1",pp,["Color=yellow","Alpha=0.4","Rayoff"]);
とすれば，黄色で断面が塗られます。
また、断面を斜線で示すなら、
ret=poly3d("1",pp,["Color=blue"]);
hatch3d("1",ret);
とします。
スライダでインタラクティブに切る
正多面体を切る平面をスライダで設定します。３点を決めればよいのでどのようにやってもよいでしょう。次は一例です。
まず、スライダを作ります。Cinderellaの作図ツールで、線分と線分上の点を取ります。線分の位置を工夫すれば、線分上の点だけを使って３点を決めることができます。
先ほど暫定的に決めた p1,p2,p3 の代わりに、このスライダで点を設定します。たとえば
p1=[G.y*2,0,0];
p2=[0,H.y*2,0];
p3=[0,0,K.y*2];
とします。
必要に応じて，頂点に名前をつけましょう。このページの先頭の図は名前をつけたものです。
立方体以外の正多面体
はじめに描くのを立方体以外の正多面体にします。たとえば
fd=rpolyhedron("1",4,2,["nodisp"]);
pd=transfer3d(fd_1,["Trans=[1,1,1]"]);
とすると正四面体の断面，
fd=rpolyhedron("1",12,2,["nodisp"]);
pd=transfer3d(fd_1,["Trans=[1,1,1]"]);
とすると，正十二面体の断面ができます。
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