Sortes de nombres

Les catégories de nombres

Pour établir les règles d'arithmétique, on a besoin d'une catégorisation des nombres cardinaux. Ces catégories sont, en ordre d'inclusion :

Naturels > entiers > décimaux > rationnels > réels > complexes. (Les complexes contiennent les réels, les réels contiennent les rationnels et ainsi de suite.)

Les naturels {1, 2, 3, ...} servent à compter la quantité d'éléments dans un ensemble comme le nombre de moutons dans un troupeau. Le zéro (0) n'en fait pas partie parce que naturellement, s'il n'y a pas d'éléments, l'ensemble n'existe pas physiquement. On les appellent aussi les entiers naturels.

Les entiers {... 2, 1, 0, 1, 2, ...} contiennent les naturels plus le zéro et les négatifs des naturels. On les appelle aussi les entiers relatifs.

Les décimaux comme 3675 et 45,92 sont tous les nombres qui peuvent s'écrire par un nombre fini de chiffres. Ils sont très utiles pour l'approximation des nombres irrationnels étant donné qu'ils ne peuvent pas être calculés par ordinateur.

Les rationnels (de ratio qui signifie rapport) comme -12 = 12/-1, 45,92 = 4592/100, 4,333 ... = 13/3 et 5,181818... = 57/11 sont tous les nombres qui sont des quotients de nombres entiers.

Les réels sont les nombres qui représentent toutes les longueurs possibles.

Les irrationnels sont tous les nombres réels qui ne sont pas rationnels.

Les imaginaires sont les racines carrées des nombres réels négatifs, ces racines n'étant pas réelles. Il est prouvé que tout nombre imaginaire est un multiple réel de la racine carrée de -1 (√-1) qu'on désigne par i, i.e. √-a =  i√a (où a est réel) comme : √-9 = 3i.

Les complexes sont l'ensemble des nombres réels, imaginaires ainsi que toutes les sommes de nombres réels et imaginaires. Ils s'écrivent de la forme a+ib où a et b sont réels. Toutes les équations algébriques ont une solution dans les nombres complexes.

Les catégories particulières :

Les grecs les appelaient commensurables (commune mesure) les nombres rationnels  dans le sens que, dans une figure géométrique, pour tout rapport entre 2 longueurs de la figure disons a et b, il devrait exister des nombres entiers u, m et n tels que a/b = mu/nu. Or, ils ont découvert que le rapport entre la longueur de la diagonale d'un carré et celle de ses côtés qui est la racine carrée de 2 (√2) ainsi que π ne sont pas commensurables.

Les constructibles sont les longueurs que l'on peut obtenir à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas. Tous les nombres rationnels sont constructibles et aussi certains irrationnels comme √2 ≈ 1,4 et le nombre d'or φ (1 + √5)/2 ≈ 1,6), solution de x2 - 1 = x que les grecs utilisaient en architecture.

Les grecs ont cru un certain temps que tous les nombres constructibles étaient commensurables.

Les algébriques sont les racines de tous les polynômes à coefficients rationnels i.e. les solutions des équations du type anxn + ... + a2x2 = a1x + a0= 0 où les ai sont rationnels. Tous les nombres constructibles sont algébriques ainsi que certains irrationnels comme  le nombre plastique ψ, solution de x3 - 1 = x utilisé en arts plastiques et certains complexes comme i qui est la solution de x2 + 1 = 0.

Les transcendants sont les nombres réels ou complexes qui ne sont pas algébriques comme π .

Les calculables (nombres de Turing) sont les nombres dont la séquence de chiffres (éventuellement infinie) peut être obtenue par un algorithme* fini (un nombre fini d'étapes possiblement répétables) ou une machine de Turing, les deux étant équivalents. Tous les nombres algébriques sont calculables.
* Toute procédure pouvant être réalisée par un humain avec un papier et un crayon.

Les nombres hyperréels, surréels, super-réels, pseudo-réels et les hypercomplexes :

X1 = 2X0

Les sortes de nombres entiers

Il y a bien sûr les nombres pairs et impaires ainsi que positifs et négatifs.

Les suites de nombres entiers

Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers

La suite de Fibonacci

La suite de Pell

La suite de Lucas

Les sortes de nombres réels

Les nombres métalliques

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