La relativité restreinte

Section A1. Définition de la simultanéité

Dans cette 1ère section de son article de 1905, Einstein explique que mesurer le temps ne peut se faire qu'en constatant la simultanéité des événements. Il définit ensuite que 2 horloges distantes l'une de l'autre sont synchronisées si :

2 horloges, l'une en position A et l'autre en B, à une distance [AB] l'une de l'autre, sont synchronisées si  tB-tA = t'A - tB.

tB-tA est la durée que prend un faisceau de lumière partant de A au temps tA indiqué par l'horloge A pour arriver à B au temps tB indiqué par l'horloge B.

t'A - tB est la durée que prend le faisceau de lumière instantanément réfléchit de B pour arriver à A au temps t'A indiqué par l'horloge A.

La vitesse de la lumière c = 2[AB] / (t'A - tA) soit la distance aller-retour parcourue par le faisceau divisé par la durée de cet aller-retour

car t'A - tA =  (tB-tA)+ (t'A - tB) et que tB-tA = t'A - tB = [AB]/c et donc aussi que (t'A - tA) = 2[AB]/c

et la distance 2[AB] = c(t'A - tA).

Section A2. Sur la relativité des longueurs et des temps

Considérant le principe de relativité déjà démontré par Galilée et celui de la constance de la vitesse de la lumière démontré par Fizeau, si les horloges sont placées aux extrémités A et B d'une tige rigide qui se déplace à une vitesse v par rapport à un cadre de référence, Einstein indique qu'on obtiendra :

de A vers B : tB-tA = [AB]/(c-v) <  [AB]/c

de B vers A : t'A - tB = [AB]/(c+v) > [AB]/c

En effet, l'horloge réceptrice aura parcouru une certaine distance pendant que le faisceau de lumière va d'une horloge à l'autre et le faisceau de lumière ne va pas plus ou moins vite d'une horloge à l'autre.

de A vers B : la durée est plus longue car B se sera éloignée de A

de B vers A : la durée est plus courte car B se sera rapprochée de A

Ce qui fait que les horloges ne sont plus synchronisées selon la définition de la simultanéité.

Les 2 équations ci-haut s'obtiennent facilement à partir de l'équation de la durée pour la tige au repos : tB-tA = t'A - tB = [AB]/c

Il s'agit incorporer la vitesse v de déplacement de la tige en ajoutant ou soustrayant un différentiel de durée dt.

De A vers B on ajoute la valeur de dt : tB-tA = [AB]/c + dt

Ce temps additionnel dt est le temps du déplacement à vitesse v de la tige pendant le trajet du faisceau de A vers B.

La vitesse v est la distance parcourue par la tige divisée par la durée du parcours tB-tA.

La distance parcourue par la tige est la distance additionnelle parcourue par le faisceau de lumière.

Le faisceau circulant à la vitesse c, la distance additionnelle parcourue par le faisceau est sa vitesse multipliée par la durée additionnelle dt soit c x dt qu'on note cdt.

Donc v = cdt/(tB-tA) donc dt = v(tB-tA)/c

Donc tB-tA = [AB]/c + v(tB-tA)/c

Donc c(tB-tA) = [AB] + v(tB-tA)

Donc c(tB-tA) - v(tB-tA) = [AB]

Donc (c-v)(tB-tA) = [AB]

Donc  tB-tA = [AB]/(c-v)

Section A3. Théorie de transformation de coordonnée et de temps
d'un système au repos à un système en mouvement de translation uniforme  

Pour que les lois de la physique en général et les équations de la thermodynamique de Maxwell en particulier restent inchangées, Einstein a montré que les positions (x') et les temps (t') d'un corps qui se déplace en mouvement rectiligne uniforme avec une vitesse (v) par rapport à un observateur qui en a mesuré les positions (x) et les temps (t), s'obtiennent par les équations suivantes :

x' = (x - vt)/√(1 - v2/c2) : pour la position du corps qui se déplace

t' = (t - vx/c2)/√(1 - v2/c2) : pour l'horloge qui se déplace avec le corps

sachant que la vitesse de la lumière (c) est indépendante du déplacement.

On appelle ces équations, la transformation de Lorentz du nom de celui qui les avait déjà obtenues précédemment dans un autre contexte.

Ces équations montrent bien que le temps est fonction du déplacement et donc que l'espace (les positions) et le temps (les durées) sont interdépendants.

La transformation de Lorentz

Dans le "petit livre" de 1916, Einstein a inclut un appendice intitulé "Dérivation simple de la transformation de Lorentz". Ses explications sont claires et compréhensibles mais très denses. De plus, les 2 éditions en français et l'édition en anglais de ce bouquin que j'ai pu consulter comportent toutes des erreurs dans cet appendice. Pour assurer une meilleure compréhension de la manière dont Einstein a déduit les équations de la transformation de Lorentz, j'ai détaillé complètement toute sa dérivation.

Pour la déduction mathématique complète > voir  sous-page : Transformation de Lorentz

On connaît aujourd'hui des façons beaucoup plus simples d'obtenir les équations de la transformation de Lorentz  en utilisant le théorème de Pythagore :

> voir sous-page : Lorentz-Jagerman

Section A4. La signification physique des équations obtenues
pour les corps rigides et les horloges en mouvement

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La contraction des longueurs et la dilatation du temps

Un observateur qui prend des mesures sur un corps en mouvement par rapport à lui, obtient des longueurs plus courtes et des temps plus longs que s'il prenait ses mesures en se déplaçant avec le corps qui ne serait alors pas en mouvement par rapport à lui.

Le facteur de contraction des longueurs et de dilatation du temps est le même, soit √(1 - v2/c2) et il varie entre 0 et 1 selon la vitesse v qui ne peut pas dépasser c.

La contraction des longueurs :

On utilise l'équation x' = (x - vt)/√(1 - v2/c2)

Comme les longueurs L sont données par L = x2 - x1 et L' = x2' - x1'

L' = x2' - x1' = (x2 - vt)/√(1 - v2/c2) - (x1 - vt)/√(1 - v2/c2)

= ((x2 - vt) - (x1 - vt))/√(1 - v2/c2)

= (x2 - x1)/√(1 - v2/c2)

= L/√(1 - v2/c2)

Donc L < L'

La dilatation du temps :

On utilise l'équation t' = (t - vx/c2)/√(1 - v2/c2)

Comme le temps t est donné par t = x/v

x = vt donc

t' = (t - vvt/c2)/√(1 - v2/c2)

= (t - tv2/c2)/√(1 - v2/c2)

= t (1- v2/c2)/√(1 - v2/c2)

= t √(1 - v2/c2)

Donc t > t'

Section A5. Le théorème de l'addition des vélocités

La section A.5 de l'article de 1905 présente le théorème de l'addition des vitesses. Si un corps B se déplace de manière rectiligne uniforme par rapport à un corps A avec une vitesse v et un corps C se déplace dans le même sens par rapport au corps B avec une vitesse w, quelle est la vitesse W du corps C par rapport au corps A ?

Il suffit d'utiliser les équations de transformation de Lorentz pour obtenir très facilement :

W = (v + w)/(1 + wv/c2) > voir sous-page : Addition des vitesses

L'équation E = mc2

Si comme moi vous admirez cette équation de physique qui fait partie de la théorie de la relativité restreinte, sachez qu'elle était très facile à déduire mathématiquement. Pour obtenir cette équation, on a besoin que de l'algèbre élémentaire.

Pour la démonstration, voir sous-page : E=mc2

Le monde à 4 dimensions de Minkowski

Dans le "petit livre" de 1916, à la fin de sa dérivation "simple", Einstein indique que les 2 équations de Lorentz satisfont la "condition" suivante : x'2 - c2t'2 = x2 - c2t2 

Or, cette petite équation n'est pas évidente à déduire.
> voir sous-page : Démonstration à partir des équations de la transformation de Lorentz.

Mais cette équation ne considère qu'une seule dimension de l'espace soit, l'axe des 'x'. Comme l'espace de notre monde est à 3 dimensions, cette équation devient :

x'2 + y'2 + z'2- c2t'2 = x2 + y2 + z2 - c2t2.

Elle est tout simplement le résultat du théorème de Pythagore pour 3 dimensions :

r = √(x2 + y2 + z2)  où r est la distance à l'origine des 3 coordonnées

en remplaçant x par r dans la "petite" équation.

Sources

Einstein Miraculus Year

© Jean FEX, 2020-2022