La règle à calcul
et la magie des logarithmes

La règle à calcul

La règle à calcul est faite de 3 parties dont 2 sont glissantes par rapport à la partie de base. L'une est une réglette glissante qui a les mêmes graduations que celles de la partie de base dans laquelle elle est insérée en son centre. L'autre est un curseur transparent aussi glissant qui a une fine ligne rouge qui permet de voir clairement les valeurs qui sont alignées.

Pour la règle Graphoplex de la photo, on peut constater que les graduations de la rangée A de la partie de base sont les mêmes que celles de la rangée B de la réglette et les graduations des rangées C et D sont aussi les mêmes. Les rangées A et B servent pour les nombres entre 1 et 100 et les rangées C et D pour les nombres entre 1 et 10 avec plus de précision. On voit sur la photo que le 1 de la rangée B est vis à vis du 2 de la rangée A et que toutes les valeurs de la rangée B sont vis à vis de leur valeur multipliée par 2 dans la rangée A : le 2 de B est vis à vis du 4 de A, 3 vis à vis du 6, etc.

Sur chaque rangée A, B, C et D, on peut remarquer que la largeur entre 1 et 2 est la même qu'entre 2 et 4, qu'entre 10 et 20 et qu'entre n'importe quel nombre et son double. De même, la largeur entre 1 et 3 est la même qu'entre 3 et 9 et ainsi de suite. La largeur entre 2 nombres est toujours la même qu'entre n'importe quel multiple de ces 2 nombres. Par exemple, la largeur entre 2 et 3 est la même qu'entre 4 et 6 parce que 3 = 2 x 1,5 et 6 = 4 x 1,5.

Ainsi, pour multiplier 2 nombres, il suffit simplement de placer le 1 de B vis à vis d'un de ces 2 nombres sur A et d'aller voir le nombre sur A qui est vis à vis de l'autre nombre à multiplier sur B. Par exemple, pour multiplier 3 par 4, on place le 1 de B vis à vis du 3 de A puis on va voir le nombre sur A qui est juste au dessus du 4 de B qui sera 12. C'est tout simplement que les distances entre les nombres sur les graduations sont les logarithmes de ces nombres et que, quand on additionne les logarithmes de 2 nombres, on obtient le produit de ces 2 nombres.

Pour diviser un nombre A par un nombre B, il suffit de placer le nombre B sur la rangée B de la réglette juste en dessous du nombre A de la rangée A et aller voir le nombre de la rangée A qui est juste au dessus du 1 de la rangée B.

Pour les nombres qui ne sont pas entiers comme 2,7 ou 5,43, il faut trouver l'endroit qui correspond à ce nombre en comptant les lignes intermédiaires comme pour une règle à mesurer les longueurs. (En passant, la rangée complètement en haut de la base de la règle où passe le dessus de la plaque transparente mesure les centimètres.) Lorsque la valeur du nombre à utiliser ou du nombre résultant n'est pas directement sur une ligne de la règle, on utilise le fil rouge de la plaque transparente.

Nous verrons comment les multiplications et les divisions fonctionnent en utilisant les logarithmes. Voyons d'abord le fonctionnement des logarithmes :

La magie des logarithmes

Le logarithme d'un nombre (disons 8) est le nombre de fois (ici c'est 3) qu'il faut multiplier un nombre de base (ici c'est 2) par lui-même pour obtenir ce 8. En effet, il faut multiplier 2 par lui-même 3 fois pour donner 8 : 2x2x2=8. Ainsi, on dit que le logarithme de 8 en base 2 égale 3 et on écrit : log(2)8=3. (La notation mathématique correcte consiste à mettre le 2 en indice juste à droite du mot log mais ce n'est pas possible ici.)

Cette définition n'étant pas évidente à première vue, nous allons l'expliquer en détails pour la rendre plus claire. Commençons par un exemple simple :

Voici une liste de logarithmes* en base 2 dans la rangée du bas pour des nombres de la rangée du haut :
1   2   4   8   16  32  64  128  256  512 1024
0#  1   2   3    4   5   6   7    8    9   10

* Cette liste est présentée dans le livre « Le théorème du parapluie » de Mickaël Launay.
# Le logarithme de 1 dans n'importe quelle base est 0. Nous verrons comment plus loin.

On voit que chaque nombre du haut comme 8 est égal à 2 multiplié par lui-même le nombre de fois du nombre sous lui soit 3. Ainsi 5 est le logarithme de 32 parce que 32=2x2x2x2x2, etc. On peut voir aussi que pour multiplier un nombre par un autre, par exemple 8 x 16, on peut toujours additionner leurs logarithmes (3+4) et obtenir que le nombre au dessus de la somme de ces logarithmes (7) est le produit de ces 2 nombres (128 = 8 x 16).

Sur une règle à calcul très réduite (simplissime) on aurait la règle de base (en bas) et la réglette (en haut) suivantes :
1   2   4   8   16  32  64  128 256 512 1024
1   2   4   8   16  32  64  128 256 512 1024
Tous les nombres doivent être à égale distance l'un de l'autre parce qu'ils sont placés à l'endroit de leur logarithme.

Pour faire une multiplication, on glisse la  réglette du haut tel qu'expliqué ci-haut. Ainsi, pour multiplier 4x16, on décale la réglette pour amener 1 au-dessus du 4 et on voit que le nombre sous le 16 est 64=4x16 :
                    1   2   4   8   16  32  64  128 256 512 1024
1   2   4   8   16  32  64  128 256 512 1024
On voit aussi que tous les nombres du bas sont des multiples de 4 du nombre du haut.

Pour la division, on glisse la réglette pour placer le diviseur (ici 4) au dessus du nombre à diviser (ici 32) pour obtenir le résultat sous le 1 de la réglette qui est 8=32÷4.
                              1   2   4   8   16  32  64  128 256 512 1024
1   2   4   8   16  32  64  128 256 512 1024

Les règles à calcul comme celle de la photo fonctionnent avec les logarithmes en base 10. On pourrait utiliser n'importe quelle base mais la 10 est la plus utilisée. Sur une vraie règle à calcul, il y a énormément plus de possibilités que notre mini-règle simplissime !

Voyons donc l'arithmétique des logarithmes nécessaires aux vraies règles à calcul comme la Graphoplex :

L'origine des algorithmes

Pour comprendre l'arithmétique des logarithmes, il faut d'abord savoir d'où ils viennent. 

La multiplication d'un nombre (disons 4) par un autre (disons 3) pour obtenir leur produit (ici 12) consiste à additionner l'un par lui-même l'autre nombre de fois comme ici : additionner 4 par lui-même 3 fois qui donne 12 comme produit (4+4+4=12). On sait que peu importe les nombres à multiplier, disons A fois B par exemple, AxB=BxA comme (4x3)=4+4+4=(3x4)=3+3+3+3=12. On dit que la multiplication est « commutative ». On dit aussi que la multiplication est « associative » parce que ((AxB)xC)=(Ax(BxC)) comme ((4x3)x2)=12x2=24=4x6=(4x(3x2)).

La division est l'opération inverse qui permet de trouver par quel nombre B il faut multiplier un nombre A (disons 4) pour obtenir un nombre P (disons 12). On divise P par A pour obtenir B comme 12÷4=3. Étant donné que la multiplication est commutative, pour trouver A ou B on utilise la même opération de division.

L'exponentiation d'un nombre B (pour Base, disons 4) par un autre nombre E (pour Exposant, disons 3) pour obtenir une Puissance P (ici 64) consiste à multiplier B par lui-même E fois comme ici : multiplier 4 par lui-même 3 fois qui donne 64 comme Puissance (4x4x4=64). On dit B exposant E égale P et on écrit par exemple 4^3=64. (La notation mathématique correcte consiste à mettre le 3 en exposant juste à droite du 4 mais ce n'est pas possible ici.)

Contrairement à la multiplication, l'exponentiation n'est pas commutative : 4^3=64 mais 3^4=3x3x3x3=81. Il nous faut donc une opération pour trouver la Base quand on a la Puissance et l'Exposant et une autre pour trouver l'Exposant quand on a la Puissance et la Base. L'exponentiation : « B^E=P » a donc 2 opérations inverses :

L'une s'appelle la Racine :
La racine est la base B qu'il faut multiplier par elle-même E fois pour obtenir la puissance P.
On écrit « E√P=B » et on dit « La racine Eième de P égale B ».
La racine Eième d'un nombre P est le nombre B qu'il faut multiplier par lui-même E fois pour obtenir P.
La racine 3ième de 64 est 4 parce que c'est 4 qu'on doit multiplier par lui-même 3 fois pour obtenir 64.
Pour 4^3=64, on a 3√64=4 (La notation mathématique correcte consiste à mettre le 3 au dessus du √ mais ce n'est pas possible ici.)
Lorsque la racine est pour un exposant 2 (racine 2ième) on dit : « racine carrée » (et on ne met pas le 2 : √9=3 ) parce que lorsque le nombre dont on veut extraire la racine carrée représente une surface, cette racine donne la longueur de chaque côté d'un carré qui a cette surface.
Lorsque la racine est pour un exposant 3 (racine 3ième) on dit : « racine cubique » (3√64=4) parce que lorsque le nombre dont on veut extraire la racine cubique représente un volume, cette racine donne la longueur de chaque arête d'un cube qui a ce volume.

L'autre ... le Logarithme :
Le logarithme est l'exposant E qui est le nombre de fois qu'il faut multiplier une base B par elle-même pour obtenir un produit P. On écrit « log(B)P=E » et on dit « Le logarithme en base B de P est E » :
Le logarithme en base B d'un nombre P est le nombre E de fois qu'il faut multiplier B par lui-même pour obtenir P.
Le logarithme en base 4 de 64 est 3 parce que c'est 3 fois qu'il faut multiplier 4 par lui-même pour obtenir 64.
Pour 4^3=64, on a log(4)64=3
Lorsqu'on a une base B et un exposant E, on dit que la puissance P est l'antilogarithme de E en base B et on écrit : antilog(B)E = P comme par exemple antilog(4)3=64=4^3. Nous verrons l'utilité de ce nouveau mot plus loin.

L'exponentiation n'est pas associative non plus : ((4^3)^2)=64^2= 4096 ≠ (4^(3^2))=4^9=262144.

En passant, la « tétration » est l'opération arithmétique qui consiste à faire l'exponentiation d'un nombre par lui-même un certain nombre de fois (4τ3 = 4^(4^4) = 4^256). Ensuite, la « pentation » est l'opération qui consiste à faire la tétration d'un nombre par lui-même. Et ainsi de suite. On a donc une infinité d'opérations arithmétiques mais ce n'est que de la théorie. Revenons à nos moutons ...

Pour comprendre l'arithmétique des logarithmes, il nous faut d'abord connaître ses propriétés :

Les propriétés des logarithmes

Comme pour l'addition et la multiplication, le logarithme a des propriétés qui lui sont propres.
On a par exemple que pour n'importe quels nombres a et b :
En addition : a+0=a ; a+b=b+a ; (-b)+a = a+(-b) = a-b ; etc.
En soustraction : a-0=a : 0-a=-a ; a-a=0 ; a-b≠b-a ; etc.
En multiplication : ax0=0 ; ax1=a ; axb=bxa ; ((axb)xc)=(ax(bxc)) ; ax(1/b) = a÷b ou a/b; etc.
En division : 0÷a=0 ; a÷a=1 ; a÷b≠b÷a ; etc.

Les propriétés de l'exponentiation (identifiées par la lettre E) et du logarithme (identifiées par la lettre L) sont aussi exprimées par des égalités.  Celles du logarithme sont déduites de celles de l'exponentiation. Les démonstrations de ces propriétés sont détaillées dans la sous-page : Les propriétés des logarithmes.

Les graduations de cette règle sont gravées avec une très grande précision pour donner des résultats à 3 chiffres* significatifs. Même avec un fort grossissement, les traits restent très fins. Elle utilise les logarithmes à base 10 qui est la plus commune. Lorsqu'on a plusieurs opérations à effectuer dont certaines utilisent les résultats d'autres, ils faut noter ces opérations et résultats sur papier.
* Lorsqu'on opère sur des nombres de plus de 3 chiffres, il faut prendre le nombre à 3 chiffres qui est la meilleure approximation : pour 34.085 ce sera 34.100 et pour 34,58 ce sera 34,6.

La rangée L au bas de la règle donne les logarithmes (log D)* en base 10 des nombres de la rangée D juste au dessus. La rangée L va de 0,0 à 1,0 et la D, de 1 à 10 car log 1 = 0 et log 10 = 1. Les graduations de la rangée L sont donc constantes et celles de la rangée D varient en proportion de leurs logarithmes. Pour un nombre L de la rangée L qui est le logarithme de D de la rangée D, on a L=logD donc 10^L=D par définition de logarithme. Par les propriétés :
L1 :  log(a)(a^b) = b, on a log(10^L) = L
L2 : a^log(a)b = b, on a 10^(log D) = D .
* Par convention, quand la base est 10 on ne l'indique pas : log x signifie log(10) x.

Pour obtenir les logs de nombres plus petits que 1 ou plus grands que 10, on utilise les propriétés
L4 : log bxc = log b + log c > Pour log 432 = log (4,32 x 100) = 0,636 + 2 = 2,636
L5 : log b÷c = log b - log c > Pour log 0,541 = log (5,41 ÷ 10) = 0,733 - 1 = -0,267

La rangée CI au centre de la réglette donne l'inverse (1/x) des nombres de la rangée C.
Pour les nombres plus petits que 1 ou plus grands que 10, on multiplie (ou on divise) le résultat par la puissance de 10 qu'on a dû diviser (ou multiplier) le nombre pour utiliser la rangée C.
Par exemple : 1/341 = 1/3,41 x 1/100 = 0,293 ÷ 100 = 0,00293
et 1/0,341 = 1/3,41 x 10 = 0,293 x 10 = 2,93.

Les rangées A et B donnent les carrés (x^2) des nombres des rangées C et D et celles-ci donnent donc les racines carrées (√x)* de A et B.
Par convention, lorsque la racine est carrée, on ne met pas le 2 à gauche du √.

Pour les carrés de nombres plus petits que 1 ou plus grands que 10, on utilise la propriété :
(axb)^c = a^c x b^c -> (3x4)^3 = 12^3 = 1728 = 27x64 = 3^3 x 4^3
Par exemple : pour 341^2 on fait 3,41^2 x 10^2 = 11,6 x 100 = 1160
Il faut donc multiplier (ou diviser) le résultat par le carré de la puissance de 10 qu'on a dû diviser (ou multiplier) le nombre pour utiliser la rangée C/D.
Par exemple : pour 0,00341^2 on fait 3,41^2 ÷ 1000^2 = 11,6 ÷ (10^3)^2 = 11,6 ÷ 10^6 = 0,0000116.

Pour les racines carrées de nombres plus petits que 1 ou plus grands que 100, on utilise la propriété :
c√(axb) = c√a x c√b -> 3√(27x64) = 3√1728 = 12 = 3x4 = 3√27 x 3√64
Par exemple : pour √341 on fait √34,1 x √10 =  5,84 x 3,16 = 18,5
Il faut donc multiplier (ou diviser) le résultat par la racine carrée de la puissance de 10 qu'on a dû diviser (ou multiplier) le nombre pour utiliser la rangée C/D en appliquant la propriété :
a√(b^c) = b^(c÷a) qui est dérivée des propriétés E6 et E3.
Lorsque l'exposant de 10 est pair (2n), sa racine carrée est la puissance de 10 par un exposant divisé par 2 : 2√(10^6) = 10^(6÷2) = 10^3.
Par exemple : √0,00000341 = √3,41 ÷ √(10^6) =  1,85 ÷ 10^3 = 0,00185
Lorsque l'exposant de 10 est impaire (2n+1), sa racine carrée est 3,16 (√10) fois la puissance de 10 par un exposant - 1 divisé par 2 : √(10^7) = 10^(7÷2) = 10^(3,5) = 10^3 x 10^(0,5) = 10^3 x 10^(1/2) =  10^((7-1)÷2) x √10
Par exemple : √341000 = √3,41 x √(10^5) =  1,85 x 3,16 x √(10^4) = 5,84 x 10^2 = 584

La rangée K donne les cubes (x^3) des nombres de C et D ceux-ci étant les racines cubiques (3√x) de K.

Pour les cubes de nombres plus petits que 1 ou plus grands que 10, on utilise la même approche et la même propriété que pour les carrés : (axb)^c = a^c x b^c
Par exemple : pour 341^3 on fait 3,41^3 x 100^3 = 39,6 x 1.000.000 = 39.600.000 (pour 39.651.821)
Et pour 0,341^3 on fait 3,41^3 ÷ 10^3 = 39,6 ÷ 1.000 = 0,0396.

Pour les racines cubiques de nombres plus petits que 1 ou plus grands que 1000, on utilise aussi la même approche et la même propriété que pour les carrées : c√(axb) = c√a x c√b
Par exemple : 3√341000 on fait 3√341 x 3√1000 =  6,99 x 10 = 69,9 (pour 69,8636803)
Pour les racines cubiques des puissances de 10, on utilise la même approche et la même propriété que pour les racines carrées : a√(b^c) = b^(c÷a) avec les particularités suivantes :
Lorsque l'exposant de 10 est un multiple entier de 3 (3n), sa racine cubique est la puissance de 10 par un exposant divisé par 3 : 3√(10^6) = 10^(6÷3) = 10^2.
Lorsque l'exposant de 10 est un multiple entier de 3+1 (3n+1), sa racine cubique est 2,15 (3√10) fois la puissance de 10 par un exposant - 1 divisé par 3 : 3√(10^7) = 10^(7÷3) = 10^(2+(1/3)) = 10^2 x 10^(1/3) =  10^((7-1)÷3) x 3√10
Lorsque l'exposant de 10 est un multiple entier de 3+2 (3n+2), sa racine cubique est 4,64 (3√100) fois la puissance de 10 par un exposant - 2 divisé par 3 : 3√(10^8) = 10^(8÷3) = 10^(2+(2/3)) = 10^2 x 10^(2/3) =  10^2 x 3√(10^2) = 10^((8-2)÷3) x 3√100
Par exemple : pour 3√0,00341 on fait 3√341 ÷ 3√(10^5) = 6,99 ÷ (3√(10^3) x 3√100) = 6,99 ÷ (10 x 4,64) = 0,151 (pour 0,1505167)

La rangée C de la réglette est la même que la D de la règle et la rangée B de la réglette est la même que la A de la règle. Ces rangées servent à effectuer les opérations de multiplication et de division.

Pour faire des multiplications

Pour multiplier 2 nombres, on peut utiliser les rangées C et D ou bien les rangées A et B de la même façon qu'avec la mini-règle : on place le 1 de la réglette (rangée C ou B) vis à vis un des 2 nombres sur la base de la règle (rangée D ou A) et le produit est sur la base de la règle (rangée D ou A) vis à vis de l'autre nombre de la réglette (rangée C ou B). Comme les rangées C et D vont de 1 à 10, on ne peut pas multiplier des nombres dont le produit est plus grand que 10 de cette façon avec ces rangées ni avec les rangées A et B pour des produits plus grands que 100. Les rangées A et B servent à multiplier des nombres dont le produit est plus grand que 10 comme pour 4,32x5,4 mais plus petit que 100.

Donc, pour multiplier des nombres dont la valeur d'un ou l'autre est plus grande que 10 comme pour 345x21,2 ou plus petite que 1 comme 0,345 x 2,12 on doit utiliser des valeurs qui sont entre 1 et 10 avec les mêmes chiffres car leur produit sera fait des mêmes chiffres : 345 x 212 = 73140 ; 0,345 x 2,12 = 0,7314 ; 34,5 x 2,12 = 73,14 ; 34500 x 2120 = 73.140.000,00 ; etc. Tous ces nombres étant des multiples de 10, il a suffit de déplacer la virgule d'un nombre de fois égal aux multiples de 10 qu'on a utilisé pour ramener les 2 nombres à multiplier entre 1 et 9,999...

A remarquer : Pour multiplier des nombres par les rangées A et B, on additionne les logarithmes (les longueurs) de leurs racines carrées car la rangée L des logarithmes est celle des rangées C et D. Voici pourquoi l'utilisation des logarithmes des racines carrées des nombres à multiplier fonctionne :
Il faut montrer qu'en utilisant les logarithmes de C et D on obtient que log(AxB) = logA+logB :
C=√A et D=√B donc CxD = √Ax√B = √(AxB)
log(CxD) = log(√(AxB)) = log(AxB)÷2 = (logA+logB)÷2 par la règle L7
Donc, log(AxB) = logA+logB CQFD

A noter : On peut toujours n'utiliser que les rangées C et D pour multiplier n'importe quels nombres comme pour 4,32x5,4 dont le produit est plus petit que 100. Voici comment procéder disons pour multiplier x par y tel qu'illustré par le schéma suivant :

La ligne du haut représente la rangée C de la réglette et celle du bas, la rangée D de la règle. On place le plus grand des 2 nombres à multiplier (ici c'est x) sur la réglette (rangée C) juste au dessus du 10 de la règle (rangée D). On trouve le résultat de la multiplication en multipliant par 10 le nombre sur la réglette qui est juste au-dessus de l'autre nombre à multiplier (ici c'est y) sur la règle.

Sur la règle de la photo ci-haut (pour 2x7=14), on a le 7 de la rangée C au-dessus du 10 de la D et qu'au-dessus du 2 de la rangée D on a 1,4 qui est 14÷10 qu'on voit vis à vis de la ligne rouge du curseur transparent. On voit aussi que tous les nombres de la rangée C sont vis à vis les multiples de 7 divisés par 10 de la rangée D.

Voici l'explication du fonctionnement :
Il faut démontrer que le nombre disons P au-dessus du y est le dixième du résultat de la multiplication (x•y÷10). Rappelons d'abord que les positions des nombres sur les 2 rangées correspondent à leur logarithme. Nous allons montrer que le logarithme de P au-dessus du y est logx+logy-1 qui fait que P = 10^( logx+logy-1) = 10^(logx)x10^(logy)x10^(-1) = xxy÷10 par les propriétés des logarithmes.
Nous avons besoin du logarithme du nombre qui est juste en-dessous du 1 de la réglette pour pouvoir obtenir le logP. Le nombre à cet endroit est 10÷x parce que ce nombre multiplié par x donne 10 comme on le voit sur le schéma car xx10÷x=10 et log(10÷x) = log10-logx = 1-logx. Le logP qui a sa distance à partir du 1 de la réglette égale la distance de logy à partir du 1 de la règle moins celle du log(10/x). Donc, logP = logy-(1-logx) = logy-1+logx = logx+logy-1 CQFD.

On peut utiliser les rangées A et B de la même façon pour des produits entre 100 et 1000 où le nombre sur la réglette B est le produit divisé par 100.

De façon équivalente, on peut aussi mettre le 10 de la rangée C vis à vis du 7 de la D.

Pour faire des divisions

Pour diviser un nombre disons P (pour produit) par un nombre D (pour diviseur), on procède à l'inverse des multiplications en utilisant des valeurs plus grandes que 1 et plus petites que 10 comme pour les multiplications et ce, en déplaçant les virgules par rapport aux multiples de 10.

Lorsque P est plus grand que D : on place le D sur la réglette vis à vis du P sur la règle et le résultat est sur la règle vis à vis du 1 de la réglette. Par exemple, pour 744÷31=24 on met le 3,1 de la réglette vis à vis du 7,44 de la règle si on utilise les rangées C et D ou on fait de même avec 74,4 et 31 avec les rangées A et B.

Lorsque P est plus petit que D : on place le D de la réglette vis à vis du 10 (ou du 100) de la règle et le résultat est sur la règle vis à vis du P÷10 (ou du P÷100) de la réglette. On peut aussi placer le 10 de la réglette vis à vis du D de la règle et le résultat est sur la réglette vis à vis du P÷10 de la règle.

Pour trouver les logarithmes

On utilise les rangées D et L en appliquant les propriétés des logarithmes.

Pour un logarithme en base autre que 10, on utilise la propriété : L8 : log(a)b = log(c)b÷log(c)a
Pour log(3)25 = log25÷log3 = (log(2,5)+1)÷log3 = 1,398÷0,477 = 2,93
Donc, log(3)(1/25) = - log(3)25 = -2,93 par L5.1 : log(a)(1/b) = -log(a)(b)
Et log(4,5)(34,1)* (= 2,3465) = log34,1÷log4,5 = (log3,41 + 1) ÷ 0,654 = 1,536÷0,654 ≈ 2,35
* Même la calculette avancée de iOS (iPhone) ne le fait pas.

Pour extraire des racines

(autres que carrées et cubiques)
On utilise la propriété L7 : log(a)(c√b) = log(a)b ÷ c qui permet de transformer n'importe quelle racine en division en passant par les logarithmes. On voit bien que cette propriété ne nous donne que le logarithme du nombre recherché. Cependant, on a la rangée D de la règle qui nous donne le nombre vis à vis celui de la rangée L qui est son logarithme.
Par exemple, pour 5√8 (1,51572) on trouve d'abord log(5√8) = log8 ÷ 5 = 0,903 ÷ 5 = 0,181
Le nombre dont le log est 0,181 est celui de la rangée D vis à vis la valeur 0,181 de la rangée L et c'est 1,516.

Lorsque log(B)P=E, on dit que P est l'antilogarithme de E en base B et on écrit : antilog(B)E=P. En fait, l'antilogarithme est la puissance P qui résulte de la base B exposant E. Quand P=B^E ,on a log(B)P = E et antilog(B)E=P et évidemment, antilog(B)log(B)P=P.
Donc, quand P=c√b on a c√b = antilog(a)log(a)(c√b) = antilog(a)(log(a)b ÷ c ) et les nombres de la rangée D de la règle sont les antilogarithmes vis à vis de ceux la rangée L.
Donc, 5√8 = antilog(log(5√8) ) = antilog(log8 ÷ 5) = antilog(0,181) ≈ 1,516.

Lorsque le log dont on veut trouver l'antilog est plus petit que 0 (négatif) ou plus grand que 1 i.e. hors de l'échelle de la rangée L,
on utilise les propriétés : E2 : a^b x a^c = a^(b+c) et E2.1 : a^b ÷ a^c = a^(b-c)
Donc, quand P = a^(b+c), antilog(a)(b+c) = P = a^b x a^c = antilog(a)b x antilog(a)c
De même, antilog(a)(b-c) = antilog(a)b ÷ antilog(a)c

Donc, 4,31√0,341 (= 0,7791) = antilog(log(0,341)÷4,31) = antilog((log3,41-1)÷4,31) = antilog((0,533-1)÷4,31) = antilog(-0,108)
= antilog(0,892-1) = antilog(0,892) ÷ antilog(1) = 7,79÷10 = 0,779

Pour faire des exponentiations

On utilise la propriété : L6 : log(a)(b^c) = log(a)b x c qui permet de transformer n'importe quelle exponentiation en multiplication en passant par les logarithmes. On voit bien qu'il faudra aussi utiliser l'antilogarithme comme pour les racines.
Par exemple : 8^5 (= 32768) = antilog(log(8^5)) = antilog(log8 x 5) = antilog(0,903 x 5) = antilog(4,515) ≈  32750
Et pour : 34,1^4,31 (= 4.038.047) = antilog(log34,1 x 4,31) = antilog((log3,41+1) x 4,31) = antilog(1,533x4,31)
= antilog(6,61) = antilog(6+0,61) = antilog(6) x antilog(0,61) ≈ 10^6 x 4,075 = 4.075.000

Sources

Les instructions générales fournies avec la règle Graphoplex

La moins pire vidéo sur YouTube : règle à calculer

Une excellente vidéo MicMaths de Mickaël Launay sur YouTube : logarithme

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logarithmic_identities