Addition des vitesses

Il nous faut trouver W où x = Wt.

On utilise x et t pour les coordonnées du corps A et x' et t' pour celles de B.

Comme C se déplace par rapport à B avec la vitesse w,

on a w = x'/t' pour la vitesse de C par rapport à B.

Donc x' = wt'

Comme B se déplace par rapport à A avec une vitesse v,

il suffit de remplacer x' et t' par les équations de la transformation de Lorentz

x' = (x - vt)/√(1 - v2/c2)

t' = (t - vx/c2)/√(1 - v2/c2)

pour trouver x = Wt

Donc

(x - vt)/√(1 - v2/c2) = w (t - vx/c2)/√(1 - v2/c2)

(x - vt) = w (t - vx/c2)

x - vt = wt - wvx/c2 

x + wvx/c2 = vt + wt

x(1 + wv/c2) = (v +w)t

x = (v +w)t/(1 + wv/c2)

x = [(v +w)/(1 + wv/c2)]t

Donc

W = (v +w)/(1 + vw/c2)

Voici une façon différente mais plus rapide de déduire W :

On a déjà que W = x/t et w=x'/t'

En remplaçant x et t par les équations de Lorentz on a :

x = (x' + vt')/√(1 + v2/c2)

t= (t' + vx'/c2)/√(1 + v2/c2)

où vt' et vx' s'additionnent à x' et t'

parce que le déplacement s'effectue dans la direction inverse.

Donc W = (x' + vt')/(t' + vx'/c2)

En divisant le numérateur et le dénominateur par t' on obtient :

W = [(x'/t')+(vt'/t')]/[(t'/t')+vx'/t'c2]

W = [w+v]/[1+vw/c2]