E=mc2

Comment obtenir mathématiquement la fameuse équation en n'utilisant que de l'algèbre élémentaire :

Note : Henri Poincaré avait déjà découvert la valeur E/c2 en 1900 et Albert Einstein l'a utilisée en 1905 sous la forme L/V2. L'importance du travail d'Einstein n'est pas tant dans l'équation que dans sa démonstration (en 3 pages) de l'équivalence de la masse et de l'énergie.

Source de la démonstration qui suit :

The Mathematics of Relativity for the Rest of Us

Louis S. Jagerman, Trafford Publishing, 2001

Chapitre 4 : The Relativity of Mass

Dans cette démonstration, nous utilisons :

mr pour la masse au repos,

mm pour la masse en mouvement,

v pour la vitesse relative entre les deux,

c pour celle de la lumière et

dm pour la différence de masse (mm - mr).

Au début du 20ème siècle, on connaissait l’équation de l’énergie d’une masse en mouvement : E = mv2/2

ainsi que le facteur de relativité : 1/√(1-v2/c2)

qui est celui du rétrécissement des longueurs et de la dilatation du temps.

Comme Einstein, on utilise l’extension en série de Taylor déjà connue aussi :

1/√(1-x) = 1 + x/2 + 3x2/8 + …

Ce qui donne pour le facteur de relativité ( où x = v2/c2) :

1/√(1-v2/c2) = 1 + v2/2c2 + 3v4/8c4 + …

On applique le facteur de relativité à la masse en mouvement par rapport à cette même masse au repos puisqu’il s’applique à tout ce qui a une vitesse relative :

mm = mr/√(1-v2/c2) [La masse augmente avec la vitesse.]

mm = mr (1 + v2/2c2 + 3v4/8c4 + …) en appliquant la série de Taylor

Comme Einstein, on ne retient que les 2 premières composantes ("Négligeant les magnitudes du 4ème et supérieurs ordres...") parce qu’elles deviennent très petites à partir de la 3ème lorsque la vitesse relative est beaucoup plus petite que celle de la lumière, ce qui est la plupart des cas.

mm = mr (1 + v2/2c2)

mm = mr + mr v2/2c2

donc

mm – mr = mr v2/2c2 = (mr v2/2) /c2

Comme mm - mr = dm et mv2/2 = E

dm = (mr v2/2)/c2 = Er/c2 [l'énergie au repos]

donc

Er = dmc2

d'où, en généralisant, on obtient

E = mc2

On remarque que, en ayant retenu que les 2 premiers termes de la série de Taylor, cette équation est une approximation même si elle s'est avérée plutôt précise.

Dans son fameux article "Est-ce que l'inertie d'un corps dépend de son contenu en énergie ?" de 3 pages de 1905 (Annalen der Physik 18 pp. 639-641), Einstein s'était arrêté à "L/V2". Il ne s'était exprimé que sur l'infime quantité de masse perdue par les corps émettant de l'énergie.

Poincaré avait conclut en 1900 que l'énergie du champ électromagnétique d'une onde électromagnétique se comporte comme un fluide fictif avec une densité de masse de  E/c2.