Transformation de Lorentz

Note : pour indiquer la position des corps, Einstein utilisait le système de coordonnées cartésiennes à 3 dimensions avec les axes des x, des y et des z. Il nomma K', le référentiel cartésien de coordonnées x', y' et z' pour indiquer la position du corps en mouvement par rapport à l'observateur qui a pris ses mesures dans le référentiel K de coordonnées x, y et z. Comme le déplacement doit être rectiligne uniforme, Einstein n'a dérivé la transformation que pour un corps qui se déplace parallèlement l'axe des x. De ce fait, on a toujours que y' = y et z' = z.

La dérivation qu'a faite Einstein part du fait que la vitesse de la lumière c est la même pour tous les corps en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.

On a donc que c = x/t et que c = x'/t' ou bien x = ct et x' = ct'

Il faut arriver aux deux équations où x' et t' ne sont exprimés qu'en utilisant x, t, c et v où v est la vitesse de déplacement de K' par rapport à K.

(1) x - ct = 0

(2) x' - ct' = 0

Donc

(3) (x' - ct') = λ(x - ct)

Comme la relativité est la même dans les 2 sens x et -x

- x - ct = 0

- (x + ct) = 0

x + ct = 0

x' + ct' = 0

(4) (x' + ct') = μ(x + ct)

En additionnant 3 & 4:

  x' - ct' = λx - λct

+ x' + ct' = μx + μct

===

 2x' = λx + μx - λct + μct

 2x' = (λ + μ)x - (λ - μ)ct

  x' = ((λ + μ)/2)x - ((λ - μ)/2)ct

En introduisant a & b :

a = (λ + μ)/2

b = (λ - μ)/2

Nous obtenons :

(5)  x' = ax - bct

En soustrayant 3 & 4 :

  x' - ct' = λx - λct

-(x' + ct' = μx + μct)

===

-2ct' = (λ - μ)x - (λ + μ)ct

 -ct' = ((λ - μ)/2)x - ((λ + μ)/2)ct

En utilisant a & b nous obtenons :

-ct' = bx - act

Donc :

(5) ct' = act - bx

Il nous faut maintenant remplacer a et b par x, t, c et/ou v

"A l’origine de K'

x' = 0

Étant donné que x' = ax - bct

ax = bct

x = bct/a

Étant donné que v = x/t [définition de la vitesse]

(6) v = bc/a

Nous pouvons maintenant trouver a et déduire b de a.

[Une méthode plus simple pour trouver a est décrite à la suite des équations (8)]

" ... pour prendre un instantané de K' à partir de K

t = 0

Étant donné que x' = ax - bct (5)

x' = ax

"Quand la distance x' = 1

dx' = 1

(7) dx = 1/a

"Mais si l’instantané est pris de K'

t' = 0

Étant donné que ct' = act - bx (5)

act = bx

x = ac/t & t = bx/ac

Étant donné que x' = ax - bct (5)

et v = bc/a (6)

x' = ax - avt étant donné que bc = av

   = a(x - vt)

   = a(x - vbx/ac)

   = a(1 - vb/ac)x

Étant donné que b/a = v/c:

x' = a(1 - v2/c2)x

"Pour deux points sur l’axe des x séparés de 1

dx = 1

(7a) dx' = a(1 - v2/c2)

Étant donné que "les 2 instantanés doivent être identiques :

dx = dx'

1/a = a(1 - v2/c2) (de 7 & 7a)

1 = a2(1 - v2/c2)

Alors

(7b) a2 = 1/(1 - v2/c2)

a = 1/√(1 - v2/c2)

Étant donné que v = bc/a (6)

bc = av

b = av/c

De  (5):

x' = ax - bct

   = ax - avt (de 6)

   = a(x - vt)

(8) x' = (x - vt)/√(1 - v2/c2)

ct' = act - bx

t' = at - bx/c

   = at - avx/c2 (de 6)

   = a(t - vx/c2)

(8) t' = (t - vx/c2)/√(1 - v2/c2)

Nous pouvons déduire a de v & c de la manière suivante :

"Pour l’origine de K

x = 0

Étant donné que x' = ax - bct (5)

x' = -bct

Étant donné que ct' = act - bx (5)

t' = at alors t = t'/a

alors

x' = -bct'/a

alors

v' = x'/t' = -bc/a = -v de (6)

Étant donné que nous pouvons utiliser -v à la place de v et v = bc/a

nous pouvons utiliser

x = ax' + bct'

  = a(x' + (bc/a)t')

  = a(ax - bct + (bc/a)(at - bx/c) (5)

  = a(ax - bct + bct - b2x/a)

  = a2x - b2x

  = (a2 - b2)x

  = a2(1 - b2/a2)x

  = a2(1 - v2/c2)x

1 = a2(1 - v2/c2)

(7b) a2 = 1/(1 - v2/c2)

a = 1/√(1 - v2/c2)