Les propriétés des logarithmes sont des égalités qui aident à trouver les résultats des opérations arithmétiques impliquant des logarithmes. Étant donné qu'un logarithme est l'exposant d'une exponentiation, nous avons d'abord besoin de connaître les propriétés de cette opération pour déduire celles des logarithmes.
Version du 1er juillet 2021
Les termes en gras soulignés renvoient aux articles de Wikipédia en français.
Nous allons identifier chaque propriété par la lettre E pour celles de l'exponentiation et L pour celles du logarithme, les 2 suivi d'un numéro.
En exponentiation, on sait déjà que a^b≠b^a et que ((a^b)^c≠(a^(b^c)).
Voici propriétés de bases :
E1 : a^1=a ; a^2 = axa ; a^3 = axaxa ; etc.
C'est la définition de l'exponentiation.
E1.1 : 1^a=1 et 0^a=0
Par les propriétés de la multiplication.
L1 : log(a)(a^b) = b
En posant a^b = x on a que log(a)x = b par la définition du logarithme.
En remplaçant x par (a^b) dans log(a)x = b, on obtient log(a)(a^b) = b
L1.1 : log(a)a = 1
log(a)a = log(a)(a^1) = 1 par la propriété L1
L2 : a^(log(a)b) = b
En posant log(a)b = x on a que a^x = b par la définition du logarithme.
En remplaçant x par (log(a)b) dans a^x = b, on obtient a^(log(a)b) = b
Les propriétés suivantes montrent comment une règle à calcul utilise les logarithmes pour effectuer différentes opérations arithmétiques. Pour nous permettre de prouver la validité de ces propriétés, nous avons besoin de poser b = a^x et c = a^y et ce, afin d'utiliser 'a' comme base des logarithmes.
(Quelles que soient les valeurs de a et de b, on va toujours avoir les valeurs de x et de y pour donner ces égalités car x = log(a)b et y=log(a)c.)
E2 : a^b x a^c = a^(b+c)
4^3 x 4^2 = 4x4x4 x 4x4 = 4^5
Le logarithme d'un produit égale la somme des logarithmes* : c'est la magie !
Ici on a 64 x 16 = 1024 dont les puissances en base 4 sont 3, 2 et 5.
D'où, les logarithmes de ses 3 nombres en base 4 sont : log(4)64=3, log(4)16=2 et log(4)1024=5.
Et donc log64+log16=log1024 et ce, dans n'importe quelle base :
log(10)64= 1,8062, log(10)16=1,2041 et log(10)1024=3,0103
Donc, quand AxB=C, on a logA+logB=logC et vice versa.
* Il faut évidemment que tous les logarithmes soient de la même base.
L4 : log(a)(bxc) = log(a)b + log(a)c
- transforme une multiplication en addition -
log(2)(4x16) = log(2)64 = 6 parce que 2^6=64
log(2)4=2 et log(2)16=4 parce que 2^2=4 et 2^4=16
Donc log(2)(4x16) = log(2)4 + log(2)16
Preuve par la propriété E2 :
log(a)(bxc) = log(a)((a^x)x(a^y)) = log(a)(a^(x+y))
= x+y par la propriété L2
= log(a)b + log(a)
E2.1 : a^b ÷ a^c = a^(b-c)
4^3 ÷ 4^2 = 4x4x4 ÷ 4x4 = 4^1
Le logarithme d'un quotient (division) égale la différence des logarithmes* : c'est aussi la magie !
Donc, quand A÷B=C, on a logA-logB=logC et vice versa.
L5 : log(a)(b/c) = log(a)b - log(a)c
- transforme une division en soustraction -
log(2)(64/4) = log(2)16 = 4 et log(2)64=6 et log(2)4=2
Donc log(2)(64/4) = 4 = 6-2 = log(2)64 - log(2)4
Preuve par la propriété E2.1 : on procède comme pour L4.
E3 : a^b^c = a^(bxc)
4^3^2 = (4^3)^2 = (4x4x4)^2 = (4x4x4) x (4x4x4) = 4^6 = 4^(3x2)
L6 : log(a)(b^c) = log(a)b x c
- transforme une exponentiation en multiplication -
log(2)(4^3) = log(2)64 = 6 et log(2)4 = 2
Donc log(2)(4^3) = 6 = 2x3 = log(2)4 x 3
Preuve par la propriété E3 :
log(a)(b^c) = log(a)((a^x)^(a^y)) = log(a)(a^(x x (a^y)))
= x x (a^y) = x x c = log(a)b x c
L8 : log(a)b = log(c)b÷log(c)a
(Propriété dite de « changement de base »)
- transforme un logarithme en division -
En posant log(a)b=x on a que a^x=b et donc que log(c)(a^x) = log(c)b
log(c)(a^x) = x x log(c)a par la propriété L6
Donc x x log(c)a = log(c)b d'où log(a)b = x = log(c)b ÷ log(c)a
E3.1 : a^b^c = a^c^b
a^b^c = a^(bxc) = a^(cxb) = a^c^b
4^3^2 = (4x4x4) x (4x4x4) = (4x4) x (4x4) x (4x4) = (4x4)^3 = 4^(2x3) = 4^2^3
E4 : a^(-b) = 1/(a^b)
4^(-2) x 4^5 = 4^(-2+5) = 4^3 = 4x4x4 par les propriétés 1. et 2. donc
4^(-2) x 4^5 = 4^(-2) x (4x4x4x4x4) = 4x4x4 donc 4^(-2) = 1/(4x4) = 1/(4^2)
E4.1 : a^(-1) = 1/a
a^(-1) = 1/(a^1) = 1/a par la propriété E.1
Souvent on écrit a^-1 à la place de 1/a4
E5 : a^0=1
4^0 = 4^(a-a) = 4^(a+(-a)) = 4^a x 4^(-a) par la propriété E2
= 4^a x (1/(4^a)) par la propriété E4
= (4^a)/(4^a) = 1.
L3 : log(a)1=0
Par la définition du logarithme on a que a^0=1.
Ce qui est conforme à la propriété E5.
L5.1 : log(a)(1/b) = -log(a)(b)
- transforme un inverse en négatif -
log(a)(1/b) = log(a)1 - log(a)b par la propriété L5
Comme log(a)1 = 0 par la propriété L3,
on obtient log(a)(1/b) = 0 - log(a)b = -log(a)b
E6. a^(1/b) = b√a
... la Racine : 3√64 = 4 car 4^3=64 (Avec B^E=P on a E√P=B)
4^3^(1/3) = 4^(3x(1/3)) = 4^1 = 4 par les propriétés E3 et E1
= (4^3)^(1/3) = 64^(1/3) et comme 4^3=64 on a 3√64 = 4
--> 64^(1/3) = 3√64
Souvent on écrit a^(1/b) à la place de b√a
E7. a^(b/c) = c√(a^b)
a^(b/c) = a^(bx(1/c)) = (a^b)^(1/c) par la propriété E3
= c√(a^b) par la propriété E6.
4^(3/2) = 4^3^(1/2) = (4^3)^(1/2) = 2√(4^3) = 2√64 = 8 = 4^(1,5)
Si on a 4^(2,7) = 42,224, on fera 4^(2+(7/10)) = 4^2 x 10√(4^7) = 16 x 10√16384 = 16x2,639 = 42,224
L7 : log(a)(c√b) = log(a)b ÷ c
- transforme une racine en division -
log(2)(3√64) = log(2)4 = 2
log(2)64 ÷ 3 = 6÷3 = 2
Preuve par la propriété E6 :
log(a)(c√b) = log(a)(b^(1/c))
= log(a)b x (1/c) par la propriété L6
= log(a)b ÷ c