Propriétés des logarithmiques

Nous allons identifier chaque propriété par la lettre E pour celles de l'exponentiation et L pour celles du logarithme, les 2 suivi d'un numéro.

En exponentiation, on sait déjà que a^b≠b^a et que ((a^b)^c≠(a^(b^c)).
Voici propriétés de bases :

E1 : a^1=a ; a^2 = axa ; a^3 = axaxa ; etc.
C'est la définition de l'exponentiation.

E1.1 : 1^a=1 et 0^a=0
Par les propriétés de la multiplication.

L1 : log(a)(a^b) = b
En posant a^b = x on a que log(a)x = b par la définition du logarithme.
En remplaçant x par (a^b) dans log(a)x = b, on obtient log(a)(a^b) = b

L1.1 : log(a)a = 1
log(a)a = log(a)(a^1) = 1 par la propriété L1

L2 : a^(log(a)b) = b
En posant log(a)b = x on a que a^x = b par la définition du logarithme.
En remplaçant x par (log(a)b) dans a^x = b, on obtient a^(log(a)b) = b

Les propriétés suivantes montrent comment une règle à calcul utilise les logarithmes pour effectuer différentes opérations arithmétiques.  Pour nous permettre de prouver la validité de ces propriétés, nous avons besoin de poser b = a^x et c = a^y et ce, afin d'utiliser 'a' comme base des logarithmes.
(Quelles que soient les valeurs de a et de b, on va toujours avoir les valeurs de x et de y pour donner ces égalités car x = log(a)b et y=log(a)c.)

E2 : a^b x a^c = a^(b+c)
4^3 x 4^2 = 4x4x4 x 4x4 = 4^5
Le logarithme d'un produit égale la somme des logarithmes* : c'est la magie !
Ici on a 64 x 16 = 1024 dont les puissances en base 4 sont 3, 2 et 5.
D'où, les logarithmes de ses 3 nombres en base 4 sont : log(4)64=3, log(4)16=2 et log(4)1024=5.
Et donc log64+log16=log1024 et ce, dans n'importe quelle base :
log(10)64= 1,8062, log(10)16=1,2041 et log(10)1024=3,0103
Donc, quand AxB=C, on a logA+logB=logC et vice versa.
* Il faut évidemment que tous les logarithmes soient de la même base.

L4 : log(a)(bxc) = log(a)b + log(a)c
- transforme une multiplication en addition -
log(2)(4x16) = log(2)64 = 6 parce que 2^6=64
log(2)4=2 et log(2)16=4 parce que 2^2=4 et 2^4=16
Donc log(2)(4x16) = log(2)4 + log(2)16
Preuve par la propriété E2 :
log(a)(bxc) = log(a)((a^x)x(a^y)) = log(a)(a^(x+y))
= x+y par la propriété L2
= log(a)b + log(a)

E2.1 : a^b ÷ a^c = a^(b-c)
4^3 ÷ 4^2 = 4x4x4 ÷ 4x4 = 4^1
Le logarithme d'un quotient (division) égale la différence des logarithmes* : c'est aussi la magie !
Donc, quand A÷B=C, on a logA-logB=logC et vice versa.

L5 : log(a)(b/c) = log(a)b - log(a)c
- transforme une division en soustraction -
log(2)(64/4) = log(2)16 = 4 et log(2)64=6 et log(2)4=2
Donc log(2)(64/4) = 4 = 6-2 = log(2)64 - log(2)4
Preuve par la propriété E2.1 : on procède comme pour L4.

E3 : a^b^c = a^(bxc)
4^3^2 = (4^3)^2 = (4x4x4)^2 = (4x4x4) x (4x4x4) = 4^6 = 4^(3x2)

L6 : log(a)(b^c) = log(a)b x c
- transforme une exponentiation en multiplication -
log(2)(4^3) = log(2)64 = 6 et  log(2)4 = 2
Donc log(2)(4^3) = 6 = 2x3 = log(2)4 x 3
Preuve par la propriété E3 :
log(a)(b^c) = log(a)((a^x)^(a^y)) = log(a)(a^(x x (a^y)))
= x x (a^y) = x x c = log(a)b x c

L8 : log(a)b = log(c)b÷log(c)a
(Propriété dite de « changement de base »)
- transforme un logarithme en division -
En posant log(a)b=x on a que a^x=b et donc que log(c)(a^x) = log(c)b
log(c)(a^x) = x x log(c)a par la propriété L6
Donc x x log(c)a = log(c)b d'où log(a)b = x = log(c)b ÷ log(c)a

E3.1 : a^b^c = a^c^b
a^b^c = a^(bxc) = a^(cxb) = a^c^b
4^3^2 = (4x4x4) x (4x4x4) = (4x4) x (4x4) x (4x4)  = (4x4)^3 = 4^(2x3) = 4^2^3

E4 : a^(-b) = 1/(a^b)
4^(-2) x 4^5 = 4^(-2+5) = 4^3 = 4x4x4 par les propriétés 1. et 2. donc
4^(-2) x 4^5 = 4^(-2) x (4x4x4x4x4) = 4x4x4 donc 4^(-2) = 1/(4x4) = 1/(4^2)

E4.1 : a^(-1) = 1/a
a^(-1) = 1/(a^1) = 1/a par la propriété E.1
Souvent on écrit a^-1 à la place de 1/a4

E5 : a^0=1
4^0 = 4^(a-a) = 4^(a+(-a)) = 4^a x 4^(-a) par la propriété E2
  = 4^a x (1/(4^a)) par la propriété E4
  = (4^a)/(4^a) = 1.

L3 : log(a)1=0
Par la définition du logarithme on a que a^0=1.
Ce qui est conforme à la propriété E5.

L5.1 : log(a)(1/b) = -log(a)(b)
- transforme un inverse en négatif -
log(a)(1/b) = log(a)1 - log(a)b par la propriété L5
Comme log(a)1 = 0 par la propriété L3,
on obtient  log(a)(1/b) = 0 - log(a)b = -log(a)b

E6. a^(1/b) = b√a
... la Racine : 3√64 = 4 car 4^3=64 (Avec B^E=P on a E√P=B)
4^3^(1/3) = 4^(3x(1/3)) = 4^1 = 4 par les propriétés E3 et E1
  = (4^3)^(1/3) = 64^(1/3) et comme 4^3=64 on a 3√64 = 4
  --> 64^(1/3) = 3√64
Souvent on écrit a^(1/b) à la place de b√a

E7. a^(b/c) = c√(a^b)
a^(b/c) = a^(bx(1/c)) = (a^b)^(1/c) par la propriété E3
  = c√(a^b) par la propriété E6.
4^(3/2) = 4^3^(1/2) = (4^3)^(1/2) = 2√(4^3) = 2√64 = 8 = 4^(1,5)
Si on a 4^(2,7) = 42,224, on fera 4^(2+(7/10)) = 4^2 x 10√(4^7) = 16 x 10√16384 = 16x2,639 = 42,224

L7 : log(a)(c√b) = log(a)b ÷ c
- transforme une racine en division -
log(2)(3√64) = log(2)4 = 2
log(2)64 ÷ 3 = 6÷3 = 2
Preuve par la propriété E6 :
log(a)(c√b) = log(a)(b^(1/c))
= log(a)b x (1/c) par la propriété L6
= log(a)b ÷ c