L'algèbre pour la musique

Algèbre des fractions

Une fraction sert à indiquer la division en parties égales d'une quantité de quelque chose. Par exemple, la fraction 1/2 indique la moitié, 3/4 les trois quarts, 27/12 les 27 douzièmes, etc. Le nombre à gauche appelé numérateur est divisé par celui de droite appelé dénominateur. Le résultat s'appelle le quotient. Par exemple, 1/2 = 1÷2 = 0,5, 3/4 = 0,75 et 27/12 = 2,25. En musique on n'utilise que des nombres entiers positifs dans les fractions. Un nombre entier est un nombre qui n'a pas de décimale.

Pour multiplier un nombre par une fraction, on multiplie le nombre par le numérateur puis on divise le résultat par le dénominateur. Par exemple, 7 x 3/4 = 21/4 = 5,25 ou 5 et 1/4 (5 + 1/4).

Pour multiplier une fraction par une fraction, on multiplie les 2 numérateurs puis on divise le résultat par la multiplication des 2 dénominateurs. Par exemple, 2/7 x 3/4 = 2x3/7x4 = 6/28 = 3/14.

Pour diviser un nombre par une fraction, on multiplie le nombre par le dénominateur puis on divise le résultat par le numérateur. Par exemple, 7 ÷ 3/4 = (7x4)/3 = 7 x 4/3. On inverse la fraction puis on fait comme la multiplication.

Pour diviser une fraction par un nombre, on divise le numérateur par la multiplication du nombre par le dénominateur. Par exemple, 3/4 ÷ 7 = 3/(4x7) = 3/28 = 3/4 x 1/7.

Pour diviser une fraction par une fraction, on inverse la fraction qui divise puis on fait comme la multiplication. Par exemple, 2/7 ÷ 3/4 = 2/7 x 4/3.

Algèbre des puissances

La puissance sert à multiplier un nombre par lui-même un certain nombre de fois. Par exemple 4 puissance 3, on écrit 43 = 4x4x4 = 64. (On dit 4 exposant 3.) Le nombre de gauche appelé base est multiplié par lui-même le nombre de fois le nombre de droite appelé exposant. En musique, l'exposant est toujours un nombre entier positif.

Pour multiplier une fraction par elle-même un certain nombre de fois, on applique simplement l'exposant au numérateur et au dénominateur. Par exemple, (3/4)2 = 32/42 = 9/16.

Il y a beaucoup de règles pour les exposants. En voici quelques unes dont celles utilisées pour notre article :

1. b2 = b x b,  b1 = b  et  b0 = 1

2. be x bf = be+f  ex.: 43 x 45 = (4x4x4)x(4x4x4x4x4) = 48 = 43+5

3. (be)f = bexf ex. : (43)5 = (43)x(43)x(43)x(43)x(43)x(43) = (4x4x4)x ... x(4x4x4) = 415 = 43x5

En musique, on a souvent besoin de savoir quelle base multipliée par elle-même un exposant nombre de fois donnera un nombre attendu. Par exemple, on a besoin de savoir quel nombre multiplié par lui-même 3 fois donnera 64. On appelle racine cette base. On dit donc "quelle est la racine 3ième ou cubique de 64" qu'on écrit 3√64 = 4. Quand l'exposant est 2, on dit la racine carrée et on ne met pas le 2. Par exemple, la racine carrée de 9/16 (√(9/16) est 3/4 car 3/4 au carré est 9/16.

4. b1/e = e√b  ex.: 641/3 = 3√64 = 4  où  3√64 x 3√64 x 3√64 x =  64 = 641 = 64(1/3 + 1/3 + 1/3) = 641/3 x 641/3 x 641/3

On a quelques fois besoin de savoir à quel exposant nombre de fois une base est multipliée par elle-même pour donner un nombre attendu. Par exemple, on a besoin de savoir combien de fois on doit multiplier 4 par lui-même pour donner 64. On appelle logarithme cet exposant. On dit donc "quel est le logarithme en base 4 de 64" qu'on écrit log4 64 = 3.

Le nombre de cents en musique

En partant de l'équation cx = r où c = 1200√2, nous allons déduire que x = 1200 log2 r.

Par la règle 4, on a c = 21/1200.

Donc, cx = (21/1200)x

Par la règle 3, on a cx = 2(1/1200 x x) = 2x/1200

Donc, r = 2x/1200

Donc, log2 r = log2 2x/1200 = x/1200  car si a = b alors logx a = logx b

Donc, log2 r = x/1200

Donc, x = 1200 x log2 r