Les mathématiques de la musique

Introduction

Pour faire simple, disons que la musique est l'enchaînement des sons produits par la voix ou des instruments qui donnent un résultat agréable à entendre. Évidemment, ça dépend des goûts. La musique étant un art, on peut se demander quelles peuvent en être ses mathématiques.

Les sons sont des vibrations de l'air que nos oreilles entendent. Ces vibrations sont étudiées et décrites scientifiquement par la physique qui elle-même est décrite par les mathématiques. En effet, il y a énormément de mathématiques dans la musique.

La musique est un sujet très complexe. Ici, nous allons nous concentrer sur ses bases dont les mathématiques sont assez simples. Nous allons les expliquer en détails.

Une chanson ou une pièce musicale se distingue entre autres par la variation des hauteurs des sons et par la variation de leurs durées. La présente page ne traite que de la hauteur du son. Pour les maths de sa durée, voir la sous-page : La durée des notes.

Version du 21 mars 2025

Les chiffres en exposant et en gras réfèrent aux notes en bas de cette page.

Les termes en gras et soulignés renvoient aux articles de Wikipédia.

Pour les règles de calcul voir ici : L'algèbre de la musique

La musique en notes

En musique, les sons sont représentés par les notes que l'on place sur une portée. Une note indique la hauteur d'un son soit comment il est grave ou aigu. La hauteur est indiquée par la position de la note sur la portée. La note indique aussi la durée du son qui est généralement très courte, une seconde ou fraction de seconde. La durée est indiquée par la forme de la note.

La hauteur d'un son dépend de sa fréquence qui est le nombre de vibrations par seconde que l'instrument fait subir à l'air qui, à son tour, fait vibrer nos tympans. On appelle ce nombre "Hertz" (Hz). Plus la fréquence est élevée, plus le son est aigu. L'oreille humaine entend les sons entre 20 et 20 000 Hz.

Quand le marteau frappe sa corde de piano (même bien accordé par François) ou quand le doigt pince une corde de guitare, l'instrument émet un son composé de plusieurs fréquences qui comprend, bien sûr, la fréquence attendue. C'est ce qui fait qu'on reconnait l'instrument qui l'a produit.

On qualifie de fondamentale la fréquence attendue d'une note jouée par un instrument. La note d'une touche de piano indique donc sa fréquence fondamentale. Les fréquences des autres sons sont toujours des multiples entiers (2x, 3x, ... nx) de la fréquence fondamentale. On appelle harmonique une note qui est le multiple entier d'une autre. Les sons qui sont harmoniques les uns par rapport aux autres sonnent harmonieusement à nos oreilles quand on les entend ensemble.

Pour démontrer les harmoniques, François propose l'expérience suivante :

On enfonce doucement une touche du piano sans faire vibrer la corde, seulement pour la libérer. Puis, on joue un coup sur 3 notes simultanément : une à 1 octave plus haute (2 x la fréquence), une à 1,5 octave (3x) et une à 2 octaves (4x). On attend quelques secondes puis on relâche doucement la touche initiale. En la relâchant, on s'aperçoit qu'elle produisait un son. Ce son était causé par les 3 notes qui ont fait vibrer cette corde. Pour trouver les 3 notes à jouer, la 1ère est simplement à 1 octave à droite de la touche enfoncée, la 2ème est à la quinte de la 1ère (3/2 x 2x = 3x) et la 3ème est à la quarte de la 2ème (4/3 x 3x = 4x). On pourrait ajouter une 4ème note qui serait à la tierce de la 4ème (5/4 x 4x = 5).

On appelle accord, un ensemble de notes jouées simultanément. Il est considéré comme formant un tout du point de vue de l'harmonie. Par exemple, le premier son entendu dans la chanson des Beatles A Hard Day's Night est un accord assez complexe, tellement que les guitaristes de l'époque n'arrivaient pas à le reproduire. Le professeur de mathématiques Jason Brown a analysé l'ensemble des fréquences de l'accord pour découvrir qu'elle comportait une note de piano. Pour ce faire, il a utilisé la Transformée de Fourrier qui est une équation comportant une intégrale et donc trop complexe pour être expliquée ici.

Dès le VIème siècle avant J.-C., les pythagoriciens (Pythagore et ses disciples) s'intéressent à la musique autant qu'aux mathématiques. Pour jouer de la musique, ils se sont rendu compte qu'on avait besoin que de peu de notes différentes, d'où les frettes sur un manche de guitare, les trous dans une flute, etc. Ainsi, il n'y a que 7 notes dans la gamme « classique » : Do-Ré-Mi-Fa-Sol-La-Si.

Les pythagoriciens se sont aperçus que la fréquence d'un son produit par une corde vibrante (de piano, de guitare, etc.) est inversement proportionnelle à sa longueur : la moitié de la corde produit le double de la fréquence, le tiers produit le triple, etc. Ils se sont aussi aperçus qu'un son ressemble beaucoup à un autre qui a le double ou la moitié de sa fréquence.

Ils ont aussi considéré le 1/3 de la longueur de la corde vibrante car l'autre 2/3 de la corde produit un son de la moitié de la fréquence du 1/3. En effet, le 1/3 de la corde produit 3 fois sa fréquence et les 2/3 ont 3/2 (soit 1,5) fois sa fréquence et 2 x 1,5 = 31. Ce faisant, ils se sont aussi aperçu que 2 notes dont l'une a une fréquence de 1,5 fois (3/2 x) celle de l'autre sonnent très bien ensemble. Les pythagoriciens ont ensuite testé le 1/4 de la longueur où les 3/4 de la corde ont 4/3 fois sa fréquence et se sont aussi aperçu que ces 2 notes sonnent encore bien ensemble.

Ils ont interprété qu'une fraction du type n+1/n où n est une nombre naturel {1, 2, 3, ...} représentait l'harmonie et la beauté dans la Nature.

Des gammes de notes

L'octave (de octo qui signifie 8 parce que d'un Do au Do suivant de la gamme « classique », on a 8 notes) est l'intervalle entre 2 notes dont l'une a le double de la fréquence de l'autre. Une gamme est une suite ordonnée de notes définies sur un octave où toute note est plus aiguë que la précédente (en ordre ascendant des fréquences). On répète ces mêmes définitions pour tous les octaves de sorte que toute note (par exemple, le Sol3) ait une fréquence du double de la note correspondante (le Sol2) de l'octave précédent7 et ce, afin que la musique soit harmonieuse.

Les notes d'une gamme sont toujours définies en terme du rapport de leur fréquence : chacune étant le multiple de la fréquence d'une note précédente. Par exemple, le Mi a une fréquence 1,125 fois celle du Ré dans tous les octaves. Les multiples ont toujours une valeur plus grande que 1 pour que les fréquences augmentent toujours mais jamais plus grande que 2. Ainsi, toute note a une fréquence plus élevée et donc plus aiguë qu'une note précédente.

Étant donné que chaque note est définie par rapport à une note précédente, il faut commencer par attribuer une fréquence à une toute première note qu'on appelle « note de référence ». Pour le piano et la plupart des instruments occidentaux, on utilise le la de fréquence de 440 Hz. Pour les octaves suivants, cette première note a simplement le double de sa fréquence de l'octave précédent.

Ce n'est qu'en définissant les notes par leur rapport (le multiple d'une précédente) et non leur différence qu'on peut obtenir des notes à l'octave peu importe l'octave. Ainsi la différence de fréquence entre les notes double à chaque octave. Par exemple, si on avait un Do à 100 Hz et que le Ré est 1,2 fois le Do, la différence serait de 20 Hz. A l'octave suivant, le Do serait de 200 Hz et la différence avec le Ré serait de 40 Hz = (1,2 x 200 Hz) - 200 Hz.

Le piano produit un octave de 12 notes par les 7 touches blanches consécutives et les 5 touches noires au dessus d'elles. Cette gamme est dite tempérée parce que chaque note a le même rapport à la note précédente. On désigne les blanches par les notes de la gamme « classique » auxquelles on ajoute Do#-Ré#-Fa#-Sol#-La# (ou leurs bémols8 correspondants) pour les noires.

Les intervalles de notes

La quinte (qui signifie 5) est l'intervalle entre 2 notes dont l'une a le 3/2 de (1,5 fois) la fréquence de l'autre. Le Sol est à la quinte du Do précédent et de Do à Sol on a 5 notes. Cet intervalle est important en musique parce que 2 notes à la quinte sonnent très bien ensemble (sont en harmonie) et c'est très recherché dans l'accord des instruments de musique.

La quarte (qui signifie 4) est l'intervalle entre 2 notes dont l'une a le 4/3 de (1,3333 fois) la fréquence de l'autre2. Le Do est à la quarte du Sol précédent et de Sol à Do on a 4 notes. Il est à noter que 1,5 x 1,3333 (3/2 x 4/3) = 2. Un octave est donc le produit d'une quinte et d'une quarte. De plus, quand on a 2 notes à la quinte dans un octave, on a conséquemment 2 notes à la quarte et celles-ci sonnent bien ensemble aussi (en harmonie).

La tierce (intervalle de 3 notes, de Fa à La par exemple) dite majeure est l'intervalle entre 2 notes dont l'une a le 5/4 de (1,25 fois) la fréquence de l'autre.

La seconde (intervalle de 2 notes, de Do à Ré par exemple) dite majeure est l'intervalle entre 2 notes dont l'une a le 9/8 de (1,125 fois) la fréquence de l'autre.

On appelle ton, la seconde majeure qui est le rapport de 9/8 entre 2 notes. Les pythagoriciens l'ont défini comme le passage de la quarte à la quinte ce qui donne un rapport de (3/2) ÷ (4/3) = 9/8.

On appelle demi-ton, la seconde mineure qui est donc la racine carrée du ton, car il faut multiplier le demi-ton par lui-même pour donner un ton, soit 2√(9/8) = 2√1,125 = 1,0607 (arrondi à 5 chiffres)

La gamme diatonique

La gamme dite diatonique (pour 2 types de tons) est la gamme « classique » (Do-Ré-Mi-Fa-Sol-La-Si) aussi dite heptatonique qui signifie 7 tons (pour les 7 notes). Elle est définie par un intervalle d'un ton pour 5 notes et un demi-ton pour Mi-Fa et Si-Do. Ceci est cohérent avec les touches du piano dont la séquence est Do-Do#-Ré-Ré#-Mi-Fa-Fa#-Sol-Sol#-La-La#-Si-Do, les notes en dièse correspondant aux touches noires.

La gamme naturelle

La gamme dite naturelle est la gamme « classique » dont les notes sont établies par ses rapports les plus simples possibles pour maximiser l'harmonie :

• Le Do suivant : 2/1 (à l'octave du Do de départ)

• Le Sol : 3/2, à la quinte du Do. Il est aussi à la seconde majeure du Fa.

• Le Fa : 4/3, à la quarte

• Le Mi : 5/4, à la tierce majeure

• Le Ré : 9/8, à la seconde majeure. Il est aussi à la quinte du Sol précédent : (3/2 x 3/2) ÷ 2 = 9/8.

• Le La : 5/3 est à la tierce majeur du Fa : 4/3 x 5/4.

• Le Si : 15/8 est à la tierce majeure du Sol : 3/2 x 5/4.

Voici donc la répartition des notes de cette gamme :

On remarque qu'il y a 2 valeurs de ton : 9/8 et 10/9 (45/40 = 9/8 et 40/36 = 10/9). Les tons Ré-Mi et Sol-La (1,111...) sont un peu différents de la seconde majeure (1,1250...). Les 2 demi-tons (1,0667) sont aussi un peu différents mais près de la seconde mineure (1,0607).

La gamme tempérée

Lorsqu'on veut une gamme tempérée (dite à tempérament égal5) où le rapport de la fréquence est toujours le même d'une note à sa suivante, il faut trouver le nombre par lequel on multiplie la fréquence de toute note pour obtenir la fréquence de la note suivante. Ce nombre dépend du nombre de notes dans l'octave car le nombre recherché multiplié par lui-même autant de fois qu'il y a de notes dans l'octave doit donner 2. Voici comment trouver ce nombre :

Par exemple, appelons "fDo" la fréquence d'un Do de la gamme à 12 notes (Do, Do#, Re, Re#, Mi, etc.) qu'on appelle gamme chromatique. Il faut trouver le nombre "m" qui fait que m fois la fréquence de chaque note qui donnera la fréquence de la note suivante et fera en sorte que le Do suivant aura une fréquence de 2 x fDo. Pour ce faire :

Il faut que fDo# = m x fDo,

que fRé = m x fDo# = m x (m x fDo) = m2 x fDo

et donc que m12 x fDo = 2 x fDo

et donc que m12 = 2

et donc que m = 12 √2 = 1,0595. (arrondi à 5 chiffres)6

Ce m est donc le rapport d'une note par rapport à sa précédente, par exemple m = fDo# / fDo.

On appelle demi-ton de la gamme chromatique tempérée cette valeur de m.

Dans une gamme tempérée de 'n' notes, la fréquence d'une note est multipliée par la racine 'n'ième de 2 (n√2) pour obtenir la fréquence de la note suivante.

Le cent

On appelle aussi cent, la centième partie (racine 100ième de la valeur) du demi-ton tempéré.

Sa valeur : c = 100√(12√2) = 1200√2 ≈ 1,00057779 (donc c1200 = 2)9.

Cet intervalle extrêmement petit est utilisé pour comparer la répartition des notes de différentes gammes. Très peu de gens ont l'oreille suffisamment fine pour percevoir cet intervalle.

Pour comparer les gammes, les intervalles entre les notes sont indiquées en nombre de cents. Ainsi, il y a 1200 cents dans un octave comme il y a 12 demi-tons tempérés dans la gamme chromatique. Le nombre de cents d'un intervalle est donc l'exposant, disons x, qu'il faut mettre à c (la valeur du cent) pour obtenir la valeur de l'intervalle, disons r (pour rapport). Ceci est représenté par l'équation cx = r où c1200 = 2.

Le nombre de cent x d'un intervalle est donc le logarithme en base c de cet intervalle r (x = logc r).10

Par contre, dans l'article de Wikipédia, on utilise l'équation : « x = 1200 log2 r » soit 1200 multiplié par le log en base 2 de r. La sous-section Le nombre de cents en musique de la sous-page "L'algèbre pour la musique" montre comment on arrive à cette équation.

Dans cette sous-section, on voit que r = 2x/1200. Or un intervalle r est le rapport entre les fréquences de 2 notes : la fréquence f2 d'une note est r fois la fréquence de sa précédente f1 d'où f2 = r x f1 et donc r = f2/f1 = 2x/1200. Donc, si on connait la fréquence f1 d'une note ainsi que le nombre de cent x qui la sépare de la suivante f2, on a que la fréquence f2 = f1 x 2x/1200. De plus, f1 = f2 / 2x/1200 .

Remarque : Les mathématiques des puissances sont plus compliquées que pour les 4 opérations de base (+ - x ÷).

Le tableau suivant montre les intervalles par rapport à Do des notes de la gamme diatonique :

On peut remarquer que la progression des fréquences est multiplicative car la fréquence d'une note est le multiple d'une précédente mais que la progression des cents comme celle des demi-tons est additive, la diff. On a vu que la différence entre les fréquences augmente continuellement et on voit ici que celle entre le nombre de cents et de demi-tons reste toujours la même. Ça se voit plus facilement avec la séquence des Do d'une gamme à l'autre :

Notes : Do1 Do2 Do3 Do4 ...

Fréquence : 1 2 4 8 ...(Les différences doublent toujours.)

Demi-tons : 12 24 36 48 ...(Les différences restent les mêmes.)

Cents = demi-tons x 100

Le nombre de demi-tons est l'exposant de sa valeur (12√2) : voir la rangée « Tempérament égal »

L'explication mathématique est que les nombres de cents et de demi-tons sont les exposants d'une valeur et donc des logarithmes. Quand on multiplie 2 puissances d'une même base, le résultat est cette base exposant la somme des 2 exposants. Ex. 42 x 43 = 45. C'est le principe même de la règle à calcul, ce vénérable ancêtre de la calculatrice électronique.

La gamme pythagoricienne : introduction

Les pythagoriciens avaient défini les notes d'une gamme dite pythagoricienne en n'utilisant que des quintes. Voici comment :

Disons que la note de référence a une fréquence de 1. (Si la note de référence a une fréquence de 440 Hz, comme pour le la de base par exemple, on multiplie tous les résultats par 440.)

A partir de cette 1ère note, on définit une 2ème note à la quinte de la 1ère soit 3/2 x 1 = 1,5.

Pour la 3ème, on prend la quinte de la 2ème soit 3/2 x 3/2 = 9/4 = 2,25 qui est cependant plus grande que 2 et donc dans l'octave suivant. On retient alors la note correspondante qui est dans l'octave soit 9/4 ÷ 2 = 9/8 = 1,125. (Ah ! Tient, c'est la seconde !)

Pour la 4ème : 3/2 x 9/8 = 27/16 = 1,6875 qui est dans le 1er octave.

Pour la 5ème3 : 3/2 x 27/16 = 81/32 où on retient 81/64 = 1,265625.

Et ainsi de suite :

Pour la "n"ème, on retient (3/2)n-1 ÷ 2x où x est choisi pour rester à l'intérieur de l'octave4.

Pour la 12ème , on retient donc (3/2)11 ÷ 26 = 1,3515 (arrondi à 5 chiffres)

Pour la 13ème, on retiendrait (3/2)12 ÷ 27 = 312 ÷ 219 = 1,01364 (arrondi), qui est très près de la note de référence.

On appelle comma pythagoricien, la différence entre le Do de valeur 1 et celui obtenu par les quintes soit : 0,01364.

Les pythagoriciens se sont donc arrêtés à ces 12 notes. C'est pour ça qu'on a 12 notes par octave sur un piano et d'autres instruments de musique moderne. L'avantage de cette gamme est que toutes les notes sont à la quinte (et à la quarte) ainsi qu'à l'octave d'une autre note sauf la 12ème dont a quinte n'est qu'approximative (1 au lieu de 1,01362) et qu'on l'appelle la quinte du loup.

On peut remarquer que tous les résultats sont de la forme 3p/2n ou n et p sont des nombres naturels. Toute puissance de 3 donnera un nombre impair et toute puissance de 2 sera pair. Cette division ne donnera jamais ni 1 ni 2 comme résultat car un nombre impair divisé par un nombre pair donnera toujours une fraction. Il est donc mathématiquement impossible de définir une gamme où chaque note aura une note à l'octave ainsi qu'à la quinte. En définissant une gamme par octave, il y aura toujours une quinte du loup.

Le tableau suivant montre les valeurs obtenues :

La partie gauche montre tous les résultats dans l'ordre de leur calcul :

Colonne A : la formule pour obtenir la quinte suivante

Colonne B : la fraction résultante

Colonne C : la valeur en décimale qui permet de comparer plus facilement les résultats

La partie droite montre les résultats dans l'ordre de leur valeur :

Colonne E : la position dans la partie gauche

Colonne F : la valeur en ordre croissant

Colonne G : la note résultante

Colonne H : la note de laquelle la note de la colonne G est à la quinte

Remarques :

Les notes de Sol à Si sont à la quinte des notes de Do à Mi.

Les notes de Do# à Fa# sont à la quinte des notes de l'octave précédent d'où leur division par 2.

Le Do n'est pas à la quinte du Fa précédent ; c'est la quinte du loup !

Le Ré est à la seconde majeure (9/8) du Do.

Le Mi (81/64) est presque à la tierce majeure (5/4) du Do car 5/4 = 80/64.

Le Fa (1,35152) est plutôt loin de la quarte (1,33333) du Do.

La gamme chromatique

On appelle chromatique, la gamme à 12 notes (Do, Do#, Re, Re#, Mi, etc.), chacune ayant un demi-ton entre chaque note. Or, le rapport entre chaque note d'une gamme tempérée parfaitement à l'octave est 12√2 = 1,0595, ce qui est un peu différent mais très près du demi-ton 1,0607 = 2√(9/8). En effet, si on prend les 12 demi-tons on obtient un octave de (2√(9/8))12 = (9/8)6 = 2,027.

Le piano utilise cette gamme car toutes les touches en ont une autre très près de la quinte ainsi que très près de la quarte :

Pour la quinte (3/2 = 1,5), le Sol de cette gamme, l'intervalle est de 8 notes et si on calcule (12 √2)7 on obtient 1,4983

et si on calcule 2√(9/8)7 on obtient 1,5102.

Pour la quarte (4/3 = 1,3333), le Fa de cette gamme, l'intervalle est de 6 notes et si on calcule (12 √2)5 on obtient 1,3348

et si on calcule 2√(9/8)5 on obtient 1,3424.

Pour la tierce majeure (5/4 = 1,25), le Mi de cette gamme, l'intervalle est de 5 notes et si on calcule (12 √2)4 on obtient 1,2599 et si on calcule 2√(9/8)4 on obtient 1,265625.

Pour la seconde majeure, (9/8 = 1,125), le Ré de cette gamme, l'intervalle est de 3 notes et si on calcule (12 √2)2 on obtient 1,12246 et si on calcule 2√(9/8)2 = 9/8 on obtient 1,125.

On sait déjà qu'il est impossible de définir une gamme dont toutes les notes en auront une parfaitement à la quinte. Cependant, la gamme chromatique à tempérament égal donne toutes les notes ayant chacune une autre très près de la quinte et de la quarte en plus d'avoir le même rapport entre chaque note.

Pour accorder un piano, il faut donc faire des compromis qui sont au choix du pianiste.

La gamme chromatique pythagoricienne

Cette gamme, qui utilise le cycle des quintes, est un bon compromis pour accorder un piano. La construction de cette gamme est expliquée en détails à la sous-page : La gamme chromatique pythagoricienne.

Voici la répartition des valeurs de cette gamme :

Remarques :

• Les notes en gras sont celles des touches noires du piano et les autres, les blanches.

• Le Sol est parfaitement à la quinte du Do, le Fa, à sa quarte et le Ré, à sa seconde majeure soit 1 ton parfait.

• Le Mi est presqu'à la tierce majeure qui est 5/4 = 80/64.

• Chaque note de touche blanche est parfaitement à 1 ton de sa précédente sauf le Fa qui l'est par rapport au Mib et le Do par rapport au Sib. De même pour les touches noires sauf le Réb et le Solb.

• Il y a 2 rapports de demi-ton entre les notes soient : 256/243 (= 28/35 = 1,05350) et 2187/2048 (= 37/211 = 1,06787), le demi-ton parfait étant égal à 2√(9/8) = 1,0607.

Sources

• Maths & musique, Bibliothèque Tangente, Hors Série no 11, Éditions Pole, France

• François Gagnon, www.accordeur.ca, Montréal

• Les mathématiques de la musique, Science étonnante #41, David Louapre sur YouTube

• L'harmonie est numérique, collection « Le monde est mathématique », RBA Coleccionables

• Wikipédia en français

Notes*

1. Pour les règles de calcul des fractions, lire la section Algèbre des fractions de la sous-page "L'algèbre pour la musique".

2. Tous ces multiples sont des nombres rationnels qui sont tous les nombres qui peuvent s'exprimer par la fraction de 2 nombres entiers. Les nombres rationnels ont soit : aucune décimale (4/2 = 2), un nombre fini de décimale (9/8 = 1,125) ou un nombre fini de décimales qui se répètent infiniment (50/11 = 4,545454...).

3. A noter ici que le rang auquel la note est définie n'est pas celui dans l'ordre ascendant de cette gamme.

(La fréquence de la 4ème est plus élevée que la 5ème.)

Voir la vidéo pour une bonne illustration : Science étonnante #41

4. Pour les règles de calcul des puissances, lire la section Algèbre des puissances de la sous-page "L'algèbre pour la musique".

5. Le tempérament est la manière dont on ajuste les notes dans une gamme.

6. Les résultats de ces racines (12 √2, 2√1,125, etc.) sont des nombres irrationnels qui sont les nombres qui ne peuvent pas s'exprimer par la fraction de 2 nombres entiers. Ils ont un ensemble infini de décimales dont aucune séquence ne se répète. Pi et la racine carrée de 2 sont aussi des nombres irrationnels.

7. Les gammes ne définissent qu'un petit nombre de notes par octave. Selon notre définition de note, les notes du même nom dans des octaves différents ne sont pas les mêmes notes.

8. Le dièse # indique une note plus aigüe que celle qu'il accompagne (Do# plus aigüe que Do) mais plus grave que sa suivante (Ré) et le bémol b indique l'inverse.

9. Dans l'article de Wikipédia, la lettre c représente le nombre de cents d'un intervalle et non la valeur du cent. La page de Wikipedia en anglais est beaucoup plus détaillée.

10. Pour la définition de logarithme, lire le dernier paragraphe de la section Algèbre des puissances de la sous-page "L'algèbre pour la musique".

* de bas de page et non de musique ;-)

Page updated

Google Sites

Report abuse