La gamme chromatique pythagoricienne

Tableau 1

La partie gauche de ce premier tableau liste, dans la colonne C, les puissances de 3/2 (quintes) divisées par la puissance de 2 qui ramène le résultat entre 1 et 2 pour ainsi donner toutes les notes à la quinte. La colonne D montre la fraction résultante et la colonne E, la valeur en décimales. La colonne A indique simplement la séquence de ces résultats pour savoir où la rangée se retrouve dans le tableau 2.

La partie droite liste les puissances de 2/3 (l'inverse de 3/2) multipliées par une puissance de 2 pour rester dans l'octave parce que la valeur obtenue peut être plus petite que 1. Ces puissances de 2/3 font que le Do2 est à la quinte des notes définies. Toutes les valeurs obtenues sont aussi des puissances de 4/3 (la quarte) divisées par un multiple de 2 (un nombre entier pair ;-).

On se rappelle (voir note 1) que le 2/3 d'une note B (sol) donne une note A (do) dont la quinte est B (sol) : Si 3/2 x A = B alors 2/3 x B = A. De plus, le A de l'octave suivant (do2) est à la quarte de B (sol). C'est pour ça que cette liste commence par le do2 = 2 et donne des quartes par rapport au do1. Cette façon de faire nous fait utiliser un do2 = 2 et non = 2,02729 si on n'utilisait que la séquence des quintes de la partie gauche.

On remarque que, pour chaque rangée, le rapport de droite (colonne K) égale l'inverse du rapport de gauche (colonne C) multiplié par 2. Aux colonnes D et K on s'est arrêté à la rangée 7 car nous ne retiendrons que celles-ci pour établir notre gamme.

Tableau 2

Les notes retenues pour la gamme de Pythagore sont celles indiquées en gras. On peut remarquer qu'il s'agit des 6 premiers rapports calculés dans le tableau gauche et les rapports des lignes 2 à 7 dans le droite (la rangée 1 étant le do2) donnant ainsi les 12 notes de cette gamme. Cette façon de procéder donne les do parfaitement à l'octave, les sol parfaitement à la quinte , les fa parfaitement à la quarte ainsi que les autres notes parfaitement à la seconde majeure soit 1 ton (9/8).

Cette gamme n'est évidemment pas tempérée car les secondes mineures ne sont pas en demi-ton parfait.

On remarque que les notes d'une même rangée à gauche n'ont pas la même valeur à droite. De plus, les dièses à gauche ont des bémols à leur droite parce de ce côté, on procède à rebours à partir du do2 : le si par rapport au do2, le sib par rapport au si, etc. Donc, les dièses n'ont pas la même valeur que les bémols ...

La partie de gauche de ce deuxième tableau correspond à celle du haut avec les rangées triées en ordre ascendant des valeurs des rapports (voir colonne E). La colonne B indique la note résultante. La colonne F montre les rapports entre les notes qui explique les notes retenues pour notre gamme parce qu'elles ont des rapport d'exactement 1 ton (9/8).

La partie droite correspond aussi à celle du haut triée en ordre ascendant des rapports.

Pour les fréquences, si on prend le la à 440 Hz, le do correspondant sera de 440 Hz ÷ 27/16 = 260,741 Hz.

Source

L'harmonie est numérique pp. 22 à 27

Note

1. Tous les 2/3 de la partie droite sont multipliés par 2 pour faire 4/3 qui est le rapport de la quarte. En effet, nous savons que toute note Y (prenons le sol par exemple) qui est à la quinte d'une note X (ce serait le do), la note X de l'octave suivant (ici, le do suivant) est à la quarte de Y (notre sol). Inversement, toute note Y (prenons le fa par exemple) qui est à la quarte d'une note X (ce serait le do), la note X de l'octave suivant (ici, le do suivant) est à la quinte de Y (notre fa).