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Dans son livre "The Mathematics of Relativity for the Rest of Us", Louis S. Jagerman a utilisé de la géométrie simple pour dériver la transformation de Lorentz :
Un train se déplace horizontalement à une vitesse v par rapport au sol.
Un faisceau de lumière est projeté verticalement du plafond au plancher du train soit perpendiculairement par rapport à son déplacement. Le faisceau se déplace à vitesse c.
Un observateur dans le train voit donc le faisceau se déplacer verticalement et celui au sol, en diagonale.
Les mesures sont prises par l'observateur au sol qui est donc dans le référentiel K d'Einstein et l'observateur dans le train, dans le référentiel K'.
Le temps pris par le faisceau pour l'observateur au sol est donc t et, dans le train, t'.
Pendant le trajet du faisceau, le train s'est déplacé d'une distance vt, le faisceau a parcouru la distance ct' pour l'observateur dans le train et ct pour celui au sol.
Version du 5 mai 2021
Par le théorème de Pythagore
(ct)2 = (ct')2 + (vt)2
donc
(ct')2 = (ct)2 - (vt)2
(ct')2 = t2 (c2 - v2 )
c2 t'2 = c2 t2 (1 - v2 /c2 )
t'2 = t2 (1 - v2 /c2 )
t' = t√(1 – v2 /c2 ) : le facteur de relativité et la dilatation du temps
= t√(1 - v2 /c2 )(√(1 - v2 /c2 )/√(1 - v2 /c2 ))
= t(1 - v2 /c2 )/√(1 - v2 /c2 )
= (t - tvv/c2 )/√(1 - v2 /c2 )
en posant x = vt
t' = (t - vx/c2 )/√(1 – v2 /c2 ) : la transformation de Lorentz pour t'
comme x' = ct' lorsque x = ct
x' = c(t - xv/c2 )/√(1 - v2 /c2 )
= (ct - xv/c)/√(1 - v2 /c2 )
comme x = ct, t = x/c
alors
x' = (x - vt)/√(1 – v2 /c2 ) : la transformation de Lorentz pour x' et la contraction des longueurs
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