C02 三角形の折り目の問題
問題は
三角形の紙がある。次の条件を満たすすべての折り方をしたときに、折り目が付かない領域を求めよ。
条件1 ある頂点Aを、三角形の内部の1点に重なるように折る
条件2 そのとき、折り目は頂点Aの対辺と交差しない
です。「GeoGebra日本」の対応するページをごらんください。また解説もこのページにあります。
ここでは，このページを補う形でCinderellaで作図します。
まず，条件を満たすような折り方がどのようになるか作図しましょう。ちょっと考えればわかります。
次のようになりますね。
折ったとき，AG=DG，AF=FD なので，ADの垂直二等分線を引けばよいのです。
(ADの二等分線GFを引いた後，線分を上書きして二等分線を非表示にしています。)
補助線を消しておきます。
これで試行錯誤してみると，「GeoGebra日本」のページにある補題の意味がわかります。
領域１ 領域２
領域３ 領域４
一見すると，領域３は領域１に含まれるので，折り目の存在する領域は領域１でよさそうですが，三角形の形状によってそうはならないのです。次の図のように，三角形の形状によっては領域１の中には来れない場合があるのです。
そこで，「領域１ ∩ 領域３ は領域１か 領域３に一致」すると考えます。
領域２ ∩ 領域４ についても同様です。
さて，上の図は多角形ツールで色塗りをしましたが，「ここには来れない」部分は実際には色塗りをしないように，しかも，それがインタラクティブにできるようにしましょう。
もう一度，領域１と領域３の関係を見ると，共通部分と見るのではなく，場合分けをして考える方がよさそうです。（実際プログラムしてみると，その方が簡素にできます）
Bの二等分線とACの交点Kと，ACの中点Hの位置関係で場合分けします。また，このあとは領域の論理演算になるので，多角形で色塗りをするのではなく，「シェイプ」を使います。「シェイプ」は，領域の論理演算を行うことのできるもので，Cindyscriptに関数が用意されています。
まず，領域を定義します。
if(|A,K|<|A,H|,
shape1=polygon([A,B,K]); // 領域１ Bの二等分線A側
,
shape1=polygon([A,H,L]); // 領域３ ACの垂直二等分線A側
);
if(|A,M|<|A,N|,
shape2=polygon([A,C,M]); // 領域２ Cの二等分線A側
,
shape2=polygon([A,N,O]); // 領域４ ABの垂直二等分線A側
);
この２つの領域 shape1とshape2 の併合が，Aを折ったときの折れ線が存在する領域です。併合を求めるには，演算子++を用います。
domainA=shape1++shape2;
この領域を色塗りして表示するには，fill()を用います。
fill(domainA,color->[1,0.8,0]);
次の図のようになります。
同様にして，Bを折ったときと，Cを折ったときの領域を作ります。
if(|B,M|<|B,N|,
shape3=polygon([B,C,M]); // Cの二等分線B側
,
shape3=polygon([B,N,Q]); // ABの垂直二等分線B側
);
if(|B,R|<|B,S|,
shape4=polygon([B,A,R]); // Aの二等分線B側
,
shape4=polygon([B,S,T]); // BCの垂直二等分線B側
);
domainB=shape3++shape4;
if(|C,R|<|C,S|,
shape5=polygon([C,A,R]); // Aの二等分線C側
,
shape5=polygon([C,S,U]); // BCの垂直二等分線C側
);
if(|C,K|<|C,H|,
shape6=polygon([C,B,K]); // Bの二等分線C側
,
shape6=polygon([C,H,P]); // CAの垂直二等分線C側
);
domainC=shape5++shape6;
なお，それぞれ，直接関係しない線は非表示にしたり，点線にしたりしています。
最後に，この３つの領域の併合をとります。
alldomain=domainA++domainB++domainC;
fill() で表示するのは，この領域だけでよいので，ここまでにそれぞれ表示したものは，先頭に // を書いてコメント行にしておきましょう。
fill(alldomain,color->[1,0.8,0]);
これで解答図ができます。
