H01 ４節リンク機構

アニメーションと軌跡の例として４節リンク機構をとりあげます。GeoGebraとCinderellaでの動作の違いがわかる一つの例です。

４節リンク機構は，図のようなもので，点A,Dは固定してあり，線分の長さも固定です。

点CをAのまわりに回転すると，点Eがそれにつれて動きます。

点FはCEの中点です。

問題です。Ｆの軌跡はどのようになるでしょう。

GeoGebraで作図

線分の長さはどれも一定なのですが，ACは可変になるようにしておきます。次の手順で作図します。

(1) ２点A,Bをとり，「中心と半径上の１点で決まる円」ツールでA,Bを直径とする円を描く。

点Aはあとでアニメーションをするときのために，原点に取っておきます。

(2) (1)の円周上に点Cをとります。

こうすると，ACだけは，点Bを動かして長さを変えることができます。

(3) 「中心と半径で決まる円」ツールで(1) の円の外に少し離して円を描きます。半径は適当に。今は１とします。

(4) 「中心と半径で決まる円」ツールで，Ｃを中心に大きめの（(2)の円と交わるように）円を描きます。

今は 2.5 としておきます。

(5) (3)(4) の交点の一方を作り，C,Dと結んだ線分を作ります。

(6) CDの中点を作ります。

これで４節リンク機構ができました。点Cをドラッグすると全体が動きます。円を非表示にすると，冒頭の図ができます。しかし，点Cが左の方に来ると，線分が消えてしまいます。交点ができないので当然です。

Cinderellaで作図

Cinderellaでも同じ手順で作図できます。ただし，(1)は不要です。「半径つき円を加える」ツールで円を描けば，円周をドラッグすることで円の半径を変えられるからです。したがって，点の名前が１つずつずれます。また，点Aは原点に取る必要はありません。

Cinderellaでも，２つの円が離れれば当然２つの線分は消えます。

ところが，ここで，GeoGebraとCinderellaでは異なった動きをするのです。２つの円が離れたあと，もどして交わるようにすると，Cinderellaでは次のようになります。

２円の交点を２つあるうちの上の方に取ったはずなのに，下の方になっています。もう一度離してから戻すと元に戻ります。「離す」「戻す」を繰り返すたびに上下が入れ替わります。GeoGebraではこのようなことはありません。常に上側の点です。

このことは「不具合」でしょうか。ではどちらの方が具合の悪い図でしょうか。

作図上は，２つの交点のうち上下が入れ替わってしまうCinderellaの方が具合が悪そうです。しかし「リンク機構」を考えると，Cinderellaの方が正しく，GeoGebraの方が具合が悪いのです。リンク機構では，２本の腕がまっすぐになったあと，上下のどの方向に力を加えるかで２つの状態があり得ますね。CinderellaJapanではその２つの状態が交互に現れるのに対し，GeoGebraでは一方しか実現できません。

アニメーションにする

点C(B)をドラッグする代わりにこれを自動で動かしてアニメーションにします。この場合はCinderellaの方が簡単ですので，先にCinderellaでやります。「アニメーション」ツールを使って，点Bをクリックするだけです。画面左下にコントローラができるので，プレイボタンを押します。

点Bは円周上を回るかと思いきや，そうではありません。交点ができる範囲だけ動きます。

GeoGebraでは，アニメーションツールはなく，スライダを自動で動かしてアニメーションを行います。そのために，点Cがスライダで動くようにしなければなりません。今のままでは，点Cは円周上の点に過ぎないので，これをスライダで取得した値で位置が変えられるようにします。

まず，スライダを作りますが，数値ではなく，角度を取得します。

つぎに，点Cの座標を，この角度αできまるようにします。Cが乗っている円は半径が変えられるようにしているので，その半径も取得します。入力バーに

r=Distance[A,B]

と入力すると，半径が r に代入されます。次に

C=(r cos(α),r sin(α))

を入力バーに入力します。原点中心，半径 r の円を表す式です。このために，点Aを原点にとっておいたのです。

これで，スライダによって点Cを動かすことができるようになります。スライダを右クリックし，プレファレンスの「基本」タグで「アニメーション オン」にチェックを入れれば，スライダが自動的に動いてアニメーションができるようになります。画面左下にコントローラが出るので，プレイボタンをクリックすれば動き，停止ボタンを（に変わるので）クリックすれば停止します。

これで動くのですが，Cinderellaのように，「２円が交わる条件下で動く」ようにはできません。

軌跡を表示する

軌跡を表示するツールはGeoGebra，Cinderella，いずれにもあります。

まずはGeoGebraからやってみましょう。「軌跡」ツールを選べばよいのですが，スライダでCの位置を決めるときは無効なので，スライダを消して作図し直すか，UNDOボタンを何回もクリックして前の状態に戻ります。

軌跡ツールをクリックして，点Ｃと点Fをクリックすれば軌跡が描かれます。

しかし，この軌跡は，作図上は正しいのですが，４節リンク機構としては正しくありません。

同様に，Cinderellaで軌跡ツールを選び，BとEをクリックすると次のようになります。

アニメーションコントローラのプレイボタンを押してみると，確かに描かれている軌跡上をくまなく動くことがわかります。２円が離れる前後で，交点の位置が変わるためです。

GeoGebraではこの軌跡のちょうど半分が描かれていることになりますね。

最後に，はじめの円の半径を可変にしておいたので，変えてみましょう。Cinderellaでは，円周をドラッグすれば半径が変えられます。次のように軌跡が変化します。