Фракталы

Достаточно полезный и содержательный ресурс, особенно для Артура!

http://multifractal.narod.ru/ Теория фракталов

http://multifractal.narod.ru/3dimantions/3hausdorf.htm

РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА d_H(ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ)

Как уже говорилось, точка имеет размерность равную нулю, отрезок, окружность, вообще любая обычная кривая на плоскости или в пространстве - размерность 1, круг, сфера - двумерны, тела - трехмерны. Во всех перечисленных случаях размерность равна числу независимых переменных, необходимых для того, чтобы задать точку на рассматриваемом объекте. Однако смысл понятия ''размерность'' шире. Оно характеризует более ''тонкие'' топологические свойства объектов и совпадает с числом независимых переменных, необходимых для описания объекта, только в частных случаях. С одномерными объектами мы связываем понятие длины, с двумерными площади и т.д. Но как можно представить себе множество с размерностью 3/2? По видимому, для этого требуется нечто промежуточное между длиной и площадью, и если длину условно назвать 1-мерой, а площадь - 2-мерой, то требуется (3/2)-мера. В 1919 году Феликс Хаусдорф действительно определил такую

-меру для любого и на этой основе каждому множеству в евклидовом пространстве сопоставил число, названное им метрической размерностью. Идеи Хаусдорфа, не опубликовавшего больше ни одной работы, в этом направлении, были развиты А.С. Безиковичем, который длительное время был автором или соавтором практически всех работ по данной тематике. В последующие годы размерность Хаусдорфа-Безиковича получила применение в некоторых узких областях математики, но ничто не предвещало той популярности этого понятия за пределами математики, которая сейчас наблюдается.

Рассмотрим известные выражения для длины, площади и объема шара в евклидовом пространстве. Диаметр (длина) шара радиуса

в , составляет . Площадь шара в равна

. Объём в равен . Сответствующие формулы в евклидовом пространстве любого целого числа измерений хорошо известны:

где , а - гамма-функция Эйлера:Первый шаг в построении теории дробной размерности состоит в определении

-меры шара радиуса в ,где - любое неотрицательное вещественное число. Это достигается путем распространения формулы (1) на все вещественные

. Например мера шара в -мерном пространстве опредляется как .

Следующий шаг заключается в переносе понятия

-меры с шара на произвольное множество. Для этого построим покрытие множеством шаров (рис.).

Просуммируем их объемы:

Определение.

-фрактальной -мерой множества называется число

или всевозможным покрытиям множества .

Например, если

, то .

При

этот может только увеличиваться. Следовательно, всегда существует предел при .

Определение. Фрактальной -мерной сферической мерой Хаусдорфа называется число

Часто бывает:

Безикович показал, что для каждого

всегда существует число , что -мерная мера Хаусдорфа компакта бесконечна при , и напротив равна 0, при .

Если

, то при , В тоже время для . А для

В общем случае замкнутого ограниченного множества

легко видеть, что если

, то для любого . Если же , то для. Следовательно, существует такое число , что при и , в то время как может быть любым числом из интервала . Очевидно,

Определение. Число

, удовлетворяющее соотношению: называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (метрической или фрактальной размерностью) множества . Обозначается как или .

Например, для