Мера

http://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_Хаусдорфа

Мера Хаусдорфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской σ-алгебре метрического пространства X.

Определение

Ф. Хаусдорф рассматривал[1] некоторый класс

открытых подмножеств X, на котором определил неотрицательную функцию и

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества

множествами из с диаметром, не превосходящим , то есть

и

Мерой Хаусдорфа λ, определяемой классом

и функцией l, называется предел

Примеры

    1. Пусть

    2. — совокупность всех шаров в X, a , где α > 0. Тогда соответствующая мера λ будет называться α-мерой Хаусдорфа. При α = 1 такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при α = 2 — плоской мерой Хаусдорфа.

    3. Если

    4. , — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси xn + 1 и l(A) равна n-мерному объёму осевого сечения цилиндра

    1. , то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

Литература

Примечания

Категория: Теория меры