Размерность
http://ru.wikipedia.org/wiki/Размерность_Хаусдорфа
Размерность Хаусдорфа
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Размерность Хаусдорфа — естественный способ определить размерность множества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для фрактальных множеств размерность Хаусдорфа может принимать дробные значения.
[править]
[править]
Определение
Определение размерности Хаусдорфа непросто и состоит из нескольких шагов. Пусть Ω — ограниченное множество в метрическом пространстве X.
-покрытия
Пусть
. Не более чем счётный набор подмножеств пространства X будем называть -покрытием множества Ω, если выполнены следующие два свойства:
[править]
для любого
— покрытие множества Ω. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: .
Обозначим через «минимальный размер» -покрытия множества Ω: , где инфимум берётся по всем -покрытиям множества Ω.
Очевидно, что функция (нестрого) возрастает при уменьшении , поскольку при уменьшении мы только сжимаем множество возможных -покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при
:
.
Величина Mα(Ω) называется α-мерой Хаусдорфа множества Ω.
Свойства α-меры Хаусдорфа
α-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на X.
с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; d-мера Хаусдорфа множеств в
совпадает с их d-мерным объёмом.
Mα(Ω) убывает по α. Более того, для любого множества Ω существует критическое значение α0, такое, что:
Mα(Ω) = 0 для всех α > α0
для всех α < α0
Значение может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.
Определение размерности Хаусдорфа
Размерностью Хаусдорфа множества Ω называется число α0 из предыдущего пункта.
Свойства размерности Хаусдорфа
Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна макcимуму из их размерностей. В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.
Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на n частей, подобных исходному множеству с коэффициентами
, то его размерность s является решением уравнения . Например, размерностьмножества Кантора равна ln2 / ln3 (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3), а размерностьтреугольника Серпинского — ln3 / ln2 (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2).
См. также
Литература
Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7
Категории: Метрическая геометрия | Теория размерности | Фракталы