[править]

[править]

Определение

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:

• • Назовём множество транзитивным, если каждый элемент x является подмножеством x: .

  • Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны:

  • .

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело — Френкеля.

Свойства

• • Если α — порядковое число, то каждый элемент α — порядковое число.

  • — порядковое число.

  • Если α — порядковое число, то — порядковое число (терм обозначают при этом как α + 1). Ординалы, совпадающие с α + 1 для некоторого α, называются непредельными ординалами, в отличие отпредельных.

  • Множество натуральных чисел ω — порядковое число, множества

  • — порядковые числа.

  • Всякое множество x порядковых чисел вполне упорядочено по отношению

  • , при этом — наименьший элемент любого множества порядковых чисел, — порядковое число, большее или равное любому из чисел во множестве x.

  • Не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.

Арифметика ординалов

• 1. Сравнение: для любых двух ординалов α и β какой-то из них больше или равен другого.

  2. Сложение ординалов не коммутативно. В частности, 1 + ω не равно ω + 1, хотя бы потому, что 1 + ω = ω.

  3. Сложение ординалов ассоциативно, то есть α + (β + γ) = (α + β) + γ.

См. также

• Кардинальное число

[править]