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Sección cónica
Sección cónica
En matemáticas , una sección cónica (o simplemente cónica ) es una curva obtenida como la intersección de la superficie de un cono con un plano . Los tres tipos de sección cónica son la hipérbola , la parábola y la elipse . El círculo es un caso especial de la elipse, y es de suficiente interés en su propio derecho que se llama a veces un cuarto tipo de sección cónica. Las secciones cónicas han sido estudiados por los antiguos matemáticos griegos con esta obra culminante alrededor del 200 aC, cuando Apolonio de Perga llevó a cabo un estudio sistemático de sus propiedades.
Hay muchas propiedades distintivas que las secciones cónicas del plano euclidiano tienen, y muchos de estos pueden ser - y han sido - se utiliza como base para la definición de las secciones cónicas. Una de tales propiedades define un no circular cónica para el conjunto de los puntos cuyas distancias a algún punto en particular, llamado un foco , y algunos línea particular, llamada directriz , se encuentran en una relación fija, llamada la excentricidad . El tipo de cónica se determina por el valor de la excentricidad. En la geometría analítica , una cónica se puede definir como una curva plana algebraica de grado 2; es decir, como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación cuadrática en dos variables. Esta ecuación puede escribirse en forma matricial, y algunas propiedades geométricas puede ser estudiado como condiciones algebraicas.
En el plano euclidiano, las secciones cónicas parecen ser bastante diferentes entre sí, pero comparten muchas propiedades. Al extender la geometría proyectiva a un plano (la adición de una línea en el infinito) esta diferencia aparente se desvanece, y el carácter común se hace evidente. Es necesaria una ampliación, mediante la ampliación de las verdaderas coordenadas que admitir complejas coordenadas, proporciona los medios para ver esta unificación algebraicamente.
Geometría euclidiana
Geometría euclidiana
Las secciones cónicas han sido estudiados desde hace miles de años y han proporcionado una rica fuente de resultados interesantes y bellos de la geometría euclidiana .
Definición
Definición
A cónica es la curva obtenida como la intersección de un plano , llamado el plano de corte , con la superficie de un doble cono (un cono con dos nappes ). Supondremos que el cono es un cono circular recto con el propósito de fácil descripción, pero esto no es necesario; cualquier doble cono con un poco de sección transversal circular será suficiente. Planos que pasan por el vértice del cono se cruzarán el cono en un punto, una línea o un par de líneas de intersección. Estos se llaman cónicas degeneradas y algunos autores no consideran que son cónicas en absoluto. A menos que se indique lo contrario, supondremos que "cónica" se refiere a una cónica no degenerada.
Hay tres tipos de cónicas, la elipse , parábola , y la hipérbola . El círculo es un tipo especial de elipse, aunque históricamente se ha considerado como un cuarto tipo (como lo fue por Apolonio). El círculo y la elipse surgen cuando la intersección del cono y el plano es una curva cerrada . Se obtiene el círculo cuando el plano de corte es paralelo al plano de la circunferencia generatriz del cono - para un cono recto, véase el diagrama, esto significa que el plano de corte es perpendicular al eje de simetría del cono. Si el plano de corte es paralelo a exactamente una generatriz del cono, a continuación, la cónica es ilimitado y se llama una parábola . En el caso restante, la figura es una hipérbola . En este caso, el plano se cruzará dos mitades del cono, la producción de dos curvas sin límites separados.
Tabla de las cónicas, Cyclopædia , 1728
Excentricidad, foco y la directriz
Excentricidad, foco y la directriz
Una propiedad que comparten las secciones cónicas se presenta a menudo como la siguiente definición. Una sección cónica es el locus de todos los puntos P cuya distancia a un punto fijo F (llamado el foco de la cónica) es un múltiplo constante (llamada la excentricidad , e ) de la distancia de P a una línea fija L (llamada la directriz de la cónica). Para 0 < e <1 obtenemos una elipse, por e = 1 una parábola, y para e > 1 una hipérbola.
Un círculo es un caso límite, no se define por un foco y la directriz, en el plano (sin embargo, véase la sección sobre la extensión de aviones descriptivos). La excentricidad de un círculo se define para ser cero y su foco es el centro del círculo, pero no hay una línea en el plano euclidiano que es su directriz.
Una elipse y una hipérbola tienen cada uno dos focos EL DIRECTRICES y distintos para cada uno de ellos. La línea que une los focos se llama el eje principal y los puntos de intersección de la cónica con el eje principal se llaman los vértices de la cónica. El segmento de línea que une los vértices de una cónica se llama el eje principal , también llamado eje transversal en la hipérbola. El punto medio de este segmento de línea se llama el centro de la cónica. Vamos a denotar la distancia desde el centro a un vértice de una elipse o hipérbola. La distancia desde el centro a una directriz es
Los límites negros de las regiones de color son secciones cónicas.
una
/
, mientras que la distancia desde el centro a un foco es ae .Una parábola no tiene un centro.
La excentricidad de la elipse puede ser visto como una medida de hasta qué punto la elipse se desvía de ser circular.
Una prueba de que las secciones cónicas dadas por la propiedad de enfoque directriz son las mismas que las dadas por planos que se cortan un cono se ve facilitada por el uso de esferas Dandelin .
e
parámetros cónicas
parámetros cónicas
Varios parámetros están asociados con una sección cónica. Recordemos que el eje principal es la línea que une los focos de una elipse o hipérbola, y el centro en estos casos es el punto medio del segmento de recta que une los focos. Algunas de las otras características y / o parámetros de cónicas comunes se dan a continuación.
La excentricidad lineal ( c ) es la distancia entre el centro y el foco (o uno de los dos focos).
El lado recto es el acorde paralelo a la directriz que pasa por el foco (o uno de los dos focos). Su longitud se denota por 2 ℓ .
El recto semi-latus ( ℓ ) es un medio de la longitud del lado recto.
El parámetro focal ( p ) es la distancia desde el foco (o uno de los dos focos) a la directriz.
Cuando una elipse o hipérbola están en la posición estándar (el eje principal es la x eje x y el centro es el origen) de los vértices de la cónica tienen coordenadas (- un , 0) y ( a , 0) , con un no negativo .
El semieje mayor es el valor de una .
El semieje menor es el valor de b en la ecuación cartesiana estándar de la elipse o hipérbola.
Las siguientes relaciones se cumplen:
Elipse ( e = 1/2) , parábola ( e = 1) y hipérbola ( e = 2) con foco fijo F y directriz ( e = ∞) .
Estos parámetros están relacionados tal como se muestra en la tabla siguiente, donde se supone que la posición estándar. En todos los casos, un y b son positivos.
N / A
Los formularios estándar en coordenadas cartesianas
Los formularios estándar en coordenadas cartesianas
Después de la introducción de coordenadas cartesianas la propiedad Focus-directriz se puede utilizar para producir ecuaciones que las coordenadas de los puntos de la sección cónica deben satisfacer. Por medio de un cambio de coordenadas (una rotación de ejes y una traslación de ejes ) estas ecuaciones se pueden poner en formas estándar . Para elipses y (general) hipérbolas un formulario estandarizado tiene la x eje y como el eje principal y el origen (el punto (0,0)) como el centro. Los vértices tendrían coordenadas (± una , 0) y las coordenadas focos (± c , 0) . Definir b por las ecuaciones c 2 = a 2 - b 2para una elipse y c 2 = a 2 + b 2 para una hipérbola. Para un círculo, c = 0 por lo que un 2 = b 2 . Para la parábola, la forma estándar tiene el foco en el x eje x en el punto ( a , 0) y la directriz la recta de ecuación x = - una . En la forma estándar de la parábola va a pasar siempre a través del origen. Un caso especial de la hipérbola se produce cuando sus asíntotas son perpendiculares. Este caso especial se llama una rectangular o equilátero hipérbola. En este caso, la forma estándar se obtiene tomando las asíntotas como los ejes de coordenadas y la línea x = y como el eje principal. Los focos tendría coordenadas ( c , c ) y (- c , - c ) .
Círculo: x 2 + y 2 = un 2
formas estándar de una parábola
formas estándar de una elipse
Elipse: x 2
+ y 2
/
a 2
/b 2
= 1
Parábola: y 2 = 4 ax con un > 0
Hipérbola: x 2
- y 2
/
= 1
a 2
/b 2
/
formas estándar de una hipérbola
2
Los primeros cuatro de estas formas son simétricas tanto sobre la x eje x y y eje x (por el círculo, elipse e hipérbola), o acerca de la x eje y solamente (para la parábola). La hipérbola rectangular, sin embargo, es en cambio simétrico alrededor de las líneas Y = x y y = - x .
Estas formas estándar se pueden escribir de forma paramétrica como,
/
t
/√ 2
.
forma cartesiana general
forma cartesiana general
En el sistema de coordenadas cartesianas , el gráfico de una ecuación cuadrática en dos variables es siempre una sección cónica (aunque puede ser degenerada ), y surgen todas las secciones cónicas de esta manera. La ecuación más general es de la forma
con todos los coeficientes de números reales y A, B, C no todos cero.
notación matricial
representación matricial de las secciones cónicas
La ecuación anterior se puede escribir en notación matricial como
La ecuación general también se puede escribir como
Este formulario es una especialización de forma homogénea utilizada en el contexto más general de la geometría proyectiva (ver a continuación ).
discriminante
Las secciones cónicas descritos por esta ecuación se pueden clasificar por el discriminante de la ecuación:
Por lo tanto, el discriminante es -4Δ donde Δ es el determinante de la matriz
Si la cónica es no degenerada , entonces:
si B 2 - 4 AC <0 , la ecuación representa una elipse ;
si A = C y B = 0 , la ecuación representa un círculo , que es un caso especial de una elipse;
si B 2 - 4 AC = 0 , la ecuación representa una parábola ;
si B 2 - 4 AC > 0 , la ecuación representa una hipérbola ;
Si también tenemos un + C = 0 , la ecuación representa una hipérbola rectangular .
En la notación utilizada aquí, una y B son coeficientes del polinomio, en contraste con algunas fuentes que denotan los semiejes mayor y menor como A y B .
invariantes
El discriminante B 2 -4 AC de la ecuación cuadrática de la sección cónica (o equivalentemente el determinante AC-B 2 /4 de la matriz 2 x 2) y la cantidad A + C (la traza de la matriz de 2 × 2) son invariantes bajo rotaciones arbitrarias y las traducciones de los ejes de coordenadas, como es el determinante de la matriz de 3 × 3 anterior . : pp. 60-62 El término constante C y la suma D 2 + E 2 son invariantes bajo un solo giro. : pp. 60-62
Excentricidad en términos de coeficientes
Cuando la sección cónica está escrito como algebraicamente
la excentricidad puede escribirse como una función de los coeficientes de la ecuación cuadrática. Si 4 AC = B 2 la cónica es una parábola y su excentricidad es igual a 1 (siempre que es no degenerada). De lo contrario, suponiendo que la ecuación representa ya sea una hipérbola no degenerada o una elipse, la excentricidad está dada por
donde η = 1 si el determinante de la matriz de 3 x 3 anterior es negativo y η = -1 si ese determinante es positivo.
También puede demostrarse : p. 89 que la excentricidad es una solución positiva de la ecuación
donde de nuevo Esto tiene, precisamente, una solución de la positiva eccentricity- en el caso de una parábola o una elipse, mientras que en el caso de una hipérbola que tiene dos soluciones positivas, una de las cuales es la excentricidad.
La conversión a la forma canónica
En el caso de una elipse o hipérbola, la ecuación
se puede convertir a la forma canónica en variables transformadas
como
o equivalentemente
dónde
y son los valores propios de la matriz - Es decir, las soluciones de la ecuación
- y
es el determinante de la matriz de 3 x 3 de arriba , yes de nuevo el determinante de la matriz de 2 × 2. En el caso de una elipse los cuadrados de los dos semi-ejes están dadas por los denominadores en la forma canónica.
Coordenadas polares
Coordenadas polares
En coordenadas polares , una sección cónica con un foco en el origen y, en su caso, el otro en un valor negativo (para una elipse) o un valor positivo (por una hipérbola) en la x eje x, está dado por la ecuación
donde e es la excentricidad y l es el recto semi-latus.
Como anteriormente, para e = 0 , tenemos un círculo, para 0 < e <1 obtenemos una elipse, para e = 1 una parábola, y para e > 1 una hipérbola.
La forma polar de la ecuación de una cónica se utiliza a menudo en la dinámica ; por ejemplo, la determinación de las órbitas de los objetos que giran alrededor del Sol
propiedades
propiedades
Del mismo modo que dos (distintos) puntos determinan una línea, cinco puntos determinan una cónica . Formalmente, dado cualquier cinco puntos en el plano en posición lineal general , es decir, no tres colineales , hay una cónica única que pasa a través de ellos, que será no degenerado; esto es cierto tanto en el plano euclidiano y su extensión, el plano proyectivo real. De hecho, dada cualquier cinco puntos existe una cónica que pasa por ellos, pero si tres de los puntos están alineados la cónica será degenerada (reducible, ya que contiene una línea), y puede no ser única; ver más discusión .
Cuatro puntos en el plano en la posición lineal general determinan una cónica única que pasa por los primeros tres puntos y que tiene el cuarto punto como su centro. Por lo tanto conocer el centro es equivalente a saber dos puntos en la cónica con el fin de determinar la curva.
Además, una cónica se determina por cualquier combinación de k puntos en la posición general de que pasa a través de y con ácido 5- k líneas que son tangentes a la misma, para 0≤ k ≤5.
Cualquier punto en el plano está en cero, uno o dos líneas tangentes de una cónica. Un punto en una sola línea tangente está en la cónica. Un punto en ninguna línea tangente se dice que es un punto interior (o punto interior ) de la cónica, mientras que un punto en dos líneas tangentes es un punto exterior (o punto exterior ).
Todas las secciones cónicas comparten una propiedad de reflexión que se puede afirmar que: todos los espejos en la forma de una sección cónica no degenerada reflejan la luz procedentes o con destino hacia un enfoque hacia o desde el otro foco. En el caso de la parábola, el segundo enfoque tiene que ser pensado como infinitamente lejos, de modo que los rayos de luz que van hacia o procedente del segundo foco son paralelas.
El teorema de Pascal se refiere a la colinealidad de los tres puntos que se construyen a partir de un conjunto de seis puntos en cualquier cónica no degenerada. El teorema también es válido para las cónicas degeneradas que consta de dos líneas, pero en ese caso se le conoce como el teorema de Pappus .
No degenerados secciones cónicas son siempre " suave ". Esto es importante para muchas aplicaciones, tales como la aerodinámica, donde se requiere una superficie lisa para asegurar flujo laminar y para evitar la turbulencia .
Historia
Historia
Menecmo y primeros trabajos
Menecmo y primeros trabajos
Se cree que la primera definición de una sección cónica es debido a Menecmo (muerto 320 BCE) como parte de su solución de del problema de Delos ( duplicación del cubo ). Su trabajo no sobrevivió, ni siquiera los nombres que usó para estas curvas, y sólo se conoce a través de cuentas secundarias. La definición utilizada en ese momento difiere de la utilizada en la actualidad. Los conos se construyeron mediante la rotación de un triángulo rectángulo sobre una de sus piernas para que la hipotenusa genera la superficie del cono (tal línea se llama una generatriz ). Hay tres tipos de conos se determinaron por sus ángulos del vértice (medidos por el doble del ángulo formado por la hipotenusa y la pierna que gire en torno en el triángulo de la derecha). La sección cónica se determinó entonces por la intersección de uno de estos conos con un plano dibujado perpendicular a una generatriz. El tipo de la cónica se determina por el tipo de cono, es decir, por el ángulo formado en el vértice del cono: Si el ángulo es agudo entonces la cónica es una elipse; si el ángulo es correcto, entonces el cónica es una parábola; y si el ángulo es obtuso a continuación, la cónica es una hipérbola (pero sólo una rama de la curva).
Euclides (fl. 300 aC) se dice que ha escrito cuatro libros sobre las cónicas, pero estos se perdieron también. Arquímedes (murió c. 212 aC) se sabe que han estudiado las cónicas, habiendo determinado la zona limitada por una parábola y un acorde en cuadratura de la parábola . Su interés principal era en términos de áreas y volúmenes de figuras relacionadas con las cónicas y parte de este trabajo de medición sobrevive en su libro sobre los sólidos de revolución de las cónicas, sobre conoides y esferoides .
Apolonio de Perga
Apolonio de Perga
El mayor avance en el estudio de las cónicas por los antiguos griegos se debe a Apolonio de Perga (muerto c. 190 aC), cuyo volumen de ocho secciones cónicas o cónicas resumida y ampliado considerablemente el conocimiento existente. Estudio de las propiedades de estas curvas de Apolonio hizo posible para demostrar que cualquier plano que corta un doble cono fijo (dos Napped), independientemente de su ángulo, producirá una cónica de acuerdo con la definición anterior, lo que lleva a la definición que se utiliza comúnmente en la actualidad. Círculos, no construibles por el método anterior, también se pueden obtener de esta manera. Esto puede explicar por qué considera Apolonio círculos Un cuarto tipo de sección cónica, una distinción que ya no se hace. Apolonio utilizó los nombres de elipse , parábola e hipérbola para estas curvas, utilizando la terminología del trabajo anterior sobre Pitágoras áreas.
Pappus de Alejandría (muerto c. 350 dC) se le atribuye exponiendo la importancia del concepto de enfoque de una cónica, y que detalla el concepto relacionado de una directriz , incluyendo el caso de la parábola (que no existe en las obras conocidas de Apolonio).
Desarrollo de la sección cónica como la excentricidad e incrementos
Diagrama de Apolonio de cónicas , en una traducción al árabe del siglo noveno
Al-Kuhi
Al-Kuhi
Un instrumento para la elaboración de las secciones cónicas fue descrita por primera vez en el año 1000 por el matemático islámico Al-Kuhi .
Omar Khayyam
Omar Khayyam
El trabajo de Apolonio fue traducido al árabe y gran parte de su trabajo sólo sobrevive a través de la versión árabe. Persas encontraron aplicaciones a la teoría; el más notable de ellos fue el persa matemático y poeta Omar Khayyam que utiliza secciones cónicas para resolver ecuaciones algebraicas.
Europa
Europa
Johannes Kepler extendió la teoría de las cónicas a través del " principio de continuidad ", un precursor del concepto de límites. Kepler utilizó por primera vez el término focos en 1604.
Girard Desargues y Blaise Pascal desarrolló una teoría de las cónicas usando una forma temprana de la geometría proyectiva y esto ayudó a dar un nuevo impulso para el estudio de este nuevo campo. En particular, Pascal descubrió un teorema conocido como el mysticum hexagrammum de la que muchas otras propiedades de las cónicas se pueden deducir.
René Descartes y Pierre Fermat tanto aplicaron su recién descubierto la geometría analítica para el estudio de las cónicas. Esto tuvo el efecto de reducir los problemas de geometría de las cónicas a problemas de álgebra. Sin embargo, fue John Wallis en su tratado 1655 Tractatus de sectionibus conicis que primero define las secciones cónicas como ejemplos de ecuaciones de segundo grado. escrito anteriormente, pero publicada después, de Jan de Witt curvarum Elementa comienza con de Kepler cinemática construcción de las cónicas y luego desarrolla las ecuaciones algebraicas. Este trabajo, que utiliza la metodología de Fermat y la notación de Descartes ha sido descrito como el primer libro de texto sobre el tema. De Witt inventaron el término directriz .
aplicaciones
aplicaciones
Para aplicaciones específicas de cada tipo de sección cónica, véase el círculo , elipse , parábola , y la hipérbola .
Las secciones cónicas son importantes en la astronomía : las órbitas de dos objetos masivos que interactúan de acuerdo a la ley de la gravitación universal de Newton son secciones cónicas, si su común centro de masa se considera que está en reposo. Si ellos están unidos entre sí, van a trazar dos elipses; si se están separando, van a seguir tanto parábolas o hipérbolas. Ver problema de dos cuerpos .
Para ciertos fósiles en la paleontología , la comprensión de las secciones cónicas pueden ayudar a comprender la forma tridimensional de ciertos organismos.
Las propiedades reflectantes de las secciones cónicas se utilizan en el diseño de los reflectores, radio-telescopios y algunos telescopios ópticos. Un espejo parabólico se utiliza como el reflector, con un bulbo en el foco, en un reflector. El 4,2 metros Herschel telescopio óptico en La Palma, en las Islas Canarias, utiliza un espejo parabólico principal para reflejar la luz hacia un espejo secundario hiperbólico, que refleja de nuevo a un foco detrás del primer espejo.
En el plano descriptivo verdadero
En el plano descriptivo verdadero
Las secciones cónicas tienen algunas propiedades muy similares en el plano euclidiano y las razones para ello se hacen más claras cuando las cónicas son vistos desde la perspectiva de una geometría más grande. El plano euclidiano puede incrustarse en el plano proyectivo real, y las cónicas se puede considerar como objetos en esta geometría proyectiva. Una forma de hacer esto es la introducción de coordenadas homogéneas y definir una cónica como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación cuadrática irreductible en tres variables (o equivalentemente, los ceros de un irreductible forma cuadrática ). Más técnicamente, el conjunto de puntos que son ceros de una forma cuadrática (en cualquier número de variables) se llama una cuádrica , y las cuádricas irreducibles en un espacio proyectivo de dos dimensiones (es decir, teniendo tres variables) se llaman tradicionalmente cónicas.
El plano euclidiano R 2 está incrustado en el plano proyectivo real junto a una línea en el infinito (y sus correspondientes puntos en el infinito ) para que todas las líneas de una clase se encuentran paralelo en esta línea. Por otra parte, comenzando con el plano proyectivo real, un plano euclidiano se obtiene mediante la distinción alguna línea como la línea en el infinito y la eliminación y todos sus puntos.
Intersección en el infinito
Intersección en el infinito
Podemos clasificar las secciones cónicas, tal y como aparecen en el plano euclidiano, por la forma en que se cruzan la línea en el infinito.
elipses cruzan la línea en el infinito en 0 puntos;
parábolas cruzan la línea en el infinito en 1 punto doble , que corresponde a la eje- es decir, que son tangentes a la línea en el infinito, y se cierran a un punto en el infinito en forma de elipse;
hipérbolas cruzan la línea en el infinito en 2 puntos, que corresponden a las asíntotas-hipérbolas atravesar el infinito, con un toque. Yendo al infinito a lo largo de una rama pasa por el punto en el infinito correspondiente a la asíntota, a continuación, vuelve a emerger en la otra rama en el otro lado, pero con el interior de la hipérbola (la dirección de curvatura) en el otro lado - izquierda vs. derecha (correspondiente a la no orientabilidad del plano proyectivo verdadero ) -y luego pasando a través del otro punto en el infinito vuelve a la primera rama. Hipérbolas por lo tanto puede ser visto como elipses que se han tirado a través del infinito y reaparecido en el otro lado, volteado.
En el espacio proyectivo , a través de cualquier anillo de división, pero en particular a través de cualquiera de los números reales o complejos, todas las cónicas no degeneradas son equivalentes, y por lo tanto en la geometría proyectiva uno simplemente habla de "una cónica" sin especificar un tipo, como tipo no es significativo en este contexto. Geométricamente, la línea en el infinito no es especial, por lo que mientras algunos cónicas cruzan la línea en el infinito de manera diferente, esto se puede cambiar por una transformación proyectiva - tirando de una elipse hasta el infinito o empujar una parábola fuera infinito a una elipse o una hipérbola.
coordenadas homogéneas
coordenadas homogéneas
En coordenadas homogéneas una sección cónica se puede representar como:
El paraboloide forma de Archeocyathids produce secciones cónicas en las paredes rocosas
O en matriz notación
La matriz 3 × 3 arriba se llama la matriz de la sección cónica .
Algunos autores prefieren escribir la ecuación homogénea general
(O alguna variación de este) de manera que la matriz de la sección cónica tiene la forma más simple,
pero no vamos a utilizar esta notación.
Si el determinante de la matriz de la sección cónica es cero, la sección cónica es degenerada .
Como la multiplicación de los seis coeficientes por el mismo no es cero escalar produce una ecuación con el mismo conjunto de ceros, se puede considerar cónicas, representada por ( A , B , C , D , E , F ) como puntos en los cinco dimensiones proyectiva espacio
definición proyectiva de un círculo
definición proyectiva de un círculo
Métricos conceptos de la geometría euclidiana (conceptos relacionados con un curso de medición y los ángulos) no pueden extenderse de inmediato al plano proyectivo real. Se debe ser redefinido (y generalizada) en esta nueva geometría. Esto se puede hacer para arbitrarias planos proyectivas , pero para obtener el plano proyectivo real como el plano euclidiano extendido, algunas opciones específicas tienen que ser hechas.
Fijar una línea arbitraria en un plano proyectivo que se conoce como la línea absoluta . Seleccione dos puntos distintos en la línea absoluta y se refieren a ellos como puntos absolutos . Varios conceptos métricos se pueden definir con referencia a estas opciones. Por ejemplo, dada una línea que contiene los puntos A y B , el punto medio de segmento de línea AB se define como el punto C , que es el conjugado de armónicos proyectiva del punto de intersección de AB y la línea absoluta, con respecto a A y B .
Una cónica en un plano proyectivo que contiene los dos puntos absolutos se llama un círculo . Desde cinco puntos determinan una cónica, un círculo (que puede ser degenerado) se determina por tres puntos. Para obtener el plano euclidiano extendido, la línea absoluta es elegida para ser la línea en el infinito del plano euclidiano y los puntos absolutos son dos puntos especiales de esa línea llamados los puntos circulares en el infinito . Líneas que contienen dos puntos con coordenadas reales no pasan por los puntos circulares en el infinito, por lo que en el plano euclidiano un círculo, bajo esta definición, está determinada por tres puntos que no son colineales .
Se ha mencionado que los círculos en el plano euclidiano no puede ser definido por la propiedad de enfoque directriz. Sin embargo, si se considerase que la línea en el infinito como la directriz, a continuación, mediante la adopción de la excentricidad de ser e = 0 un círculo tendrá la propiedad de enfoque directriz, pero aún no está definido por esa propiedad. Hay que tener cuidado en esta situación para utilizar correctamente la definición de excentricidad como la relación de la distancia de un punto en el círculo para el enfoque (longitud de un radio) a la distancia de dicho punto a la directriz (esta distancia es infinito) que da el valor límite de cero.
proyectiva definición cónica de Steiner
proyectiva definición cónica de Steiner
A sintético (sin el uso de coordenadas) enfoque para definir las secciones cónicas en un plano proyectivo fue dada por Jakob Steiner en 1867.
Dados dos lápices
de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y resp.) y un proyectivo pero no la perspectiva de mapeo de
sobre . A continuación, los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerado.Una perspectiva de la cartografía
de un lápiz en un lápiz es una biyección (1-1 correspondencia) de tal manera que las líneas correspondientes se cruzan en una línea fija
, Que se llama el eje de la perspectivity.
A proyectiva de mapeo es una secuencia finita de asignaciones de perspectiva.
Como un mapeo proyectiva en un plano proyectivo sobre un campo ( plano pappian ) se determina de forma única por la prescripción de las imágenes de tres líneas, para la generación Steiner de una sección cónica, además de dos puntos
Sólo las imágenes de 3 líneas tienen que ser determinado. Estos artículos 5 (2 puntos, 3 líneas) determinan de forma única la sección cónica.
cónicas línea
cónicas línea
Por el principio de dualidad en un plano proyectivo, el dual de cada punto es una línea, y el dual de un lugar geométrico de puntos (un conjunto de puntos que satisfacen alguna condición) se llama una dotación de líneas. Usando la definición de Steiner de una cónica (este lugar geométrico de puntos ahora se conoce como un punto cónica ) como la reunión de los rayos de dos lápices relacionadas correspondiente, es fácil de dualizar y obtener la envolvente correspondiente que consiste en las uniones de puntos correspondientes de dos rangos afines (puntos en una línea) en diferentes bases (las líneas de los puntos están activados). Tal un sobre se llama cónica línea (o de doble cónica ).
En el plano proyectivo real, un punto cónica tiene la propiedad de que cada línea se reúne en dos puntos (que puede coincidir, o puede ser complejo) y cualquier conjunto de puntos con esta propiedad es un punto cónica. De ello se deduce que dualmente una cónica línea tiene dos de sus líneas a través de todos los puntos y líneas de cualquier sobre con esta propiedad es una línea cónica. En cada punto de un punto cónica hay una línea tangente único y dual, en cada línea de una línea cónica hay un punto único llamado un punto de contacto . Un importante teorema afirma que las líneas tangentes de una forma cónica punto de una línea cónicas, y doblemente, los puntos de contacto de una línea cónica forman un punto cónica.
definición de von Staudt
definición de von Staudt
Karl Georg Christian von Staudt define una cónica como el punto de referencia dado por todos los puntos absolutos de una polaridad que tiene puntos absolutos. Von Staudt introdujo esta definición en Geometrie der Lage (1847) como parte de su intento de eliminar todos los conceptos métricos a partir de la geometría proyectiva.
Una polaridad , π , de un plano proyectivo, P , es un involutivo (es decir, de orden dos) biyección entre los puntos y las líneas de P que conserva la relación de incidencia . Por lo tanto, una polaridad se refiere el punto Q con una línea q y, tras Gergonne , q se denomina polar de Q y Q del polo de q . Un punto absoluto ( línea ) de una polaridad es uno que es incidente con su polo (polo).
A cónica von Staudt en el plano proyectivo real es equivalente a una cónica Steiner .
construcciones
construcciones
A cónica no se puede construir como una curva continua (o dos) con regla y compás. Sin embargo, hay varios métodos que se utilizan para construir tantos puntos individuales en una cónica, con regla y compás, según se desee.
Una de ellas se basa en el recíproco del teorema de Pascal, a saber, si los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono son colineales, a continuación, los seis vértices se encuentran en una cónica. En concreto, dado cinco puntos, A , B , C , D , E y una línea que pasa a través de E , digamos EG , podemos construir un punto F que se encuentra en esta línea y está en la cónica determinada por los cinco puntos. Deje que AB se encuentran DE en L , BC se encuentran EG en M y dejar que el CD se encuentran LM en N . Entonces AN se reúne EG en el punto requerido F . Mediante la variación de la línea a través de E , podemos construir la mayor cantidad de puntos adicionales en la cónica si lo deseas.
Otro método, basado en la construcción de Steiner y que es útil en aplicaciones de ingeniería, es el método de paralelogramo , donde una cónica se construye punto por punto por medio de la conexión de ciertos puntos igualmente espaciados en una línea horizontal y una línea vertical. En concreto, para construir la elipse con la ecuación
Definición de la generación Steiner de una sección cónica
x 2
+ y 2
/
a 2
/b 2
= 1 , primero construir el rectángulo ABCD con vértices A ( un , 0), B ( una , 2 b ), C (- una , 2 b ) y D (- un , 0) . Divida el lado BC en n segmentos iguales y el uso de proyección paralela, con respecto a la diagonal AC , para formar segmentos iguales en el lado AB (las longitudes de estos segmentos será
b
/
a
veces la longitud de los segmentos en BC). En el lado BC etiqueta de los puntos extremos izquierdos de los segmentos con un 1 a un n a partir de B y yendo hacia C . En el lado AB etiqueta de los puntos de corte superiores D 1 a D n a partir de A y yendo hacia B . Los puntos de intersección, AA i ∩ DD i para 1 ≤ i ≤ n va a ser puntos de la elipse entre A y P (0, b ) . El etiquetado asocia las líneas del lápiz a través de una de las líneas del lápiz a través D projectively pero no en perspectiva. La buscado para cónica se obtiene por esta construcción desde tres puntos A , D y P y dos tangentes (las líneas verticales en A y D ) determinan de forma única la cónica. Si se utilizan otro diámetro (y su diámetro conjugado) en lugar de los ejes mayor y menor de la elipse, un paralelogramo que no es un rectángulo se utiliza en la construcción, dando el nombre del método. La asociación de las líneas de los lápices se puede ampliar para obtener otros puntos de la elipse. Las construcciones para hipérbolas y parábolas son similares.
Sin embargo, otro método general se utiliza la propiedad de polaridad para la construcción de la envolvente tangente de una cónica (una cónica línea).
En el plano descriptivo complejo
En el plano descriptivo complejo
Además unificación es posible si se deja los números complejos como coeficientes. En el plano proyectivo complejo las cónicas no degenerados no se pueden distinguir uno de otro.
Sobre el complejo de números elipses e hipérbolas no son distintos, ya que -1 es un cuadrado; precisamente, la elipse
método de paralelogramo para la construcción de una elipse
se convierte en una hipérbola bajo la sustitución geométricamente una rotación compleja, produciendo
- Una hipérbola es simplemente una elipse con una longitud de eje imaginario. Por lo tanto hay una clasificación de 2 vías: elipse / hipérbola y parábola. Geométricamente, esto corresponde a la intersección de la línea en el infinito, ya sea en 2 puntos distintos (correspondiente a dos asíntotas) o en 1 punto doble (correspondiente al eje de una parábola), y por lo tanto la hipérbola real es una imagen más sugerente para el complejo elipse / hipérbola, ya que también tiene 2 intersecciones (real) con la línea en el infinito.
Puede probarse que en el complejo plano proyectivo CP 2 dos secciones cónicas tienen cuatro puntos en común (si es que las cuentas de la multiplicidad ), por lo que nunca son más de 4 intersección puntos y siempre hay un punto de intersección (posibilidades: cuatro intersección distinta puntos, dos puntos singulares de intersección y uno los puntos de intersección dobles, dos puntos de intersección dobles, un punto de intersección singular y 1 con multiplicidad 3, 1 punto de intersección con la multiplicidad 4). Si existe al menos un punto de intersección con multiplicidad> 1, entonces las dos secciones cónicas se dice que son tangentes . Si sólo hay un punto de intersección, que tiene multiplicidad 4, las dos secciones cónicas se dice que están osculating.
Además, cada línea recta corta a cada sección cónica dos veces. Si el punto de intersección es doble, se dice que la línea tangente y se llama la línea tangente . Debido a que cada línea recta corta una sección cónica dos veces, cada sección cónica tiene dos puntos en el infinito (los puntos de intersección con la línea en el infinito ). Si estos puntos son reales, la sección cónica debe ser una hipérbola , si son imaginario conjugado, la sección cónica debe ser una elipse , si la sección cónica tiene un doble punto en el infinito es una parábola . Si los puntos del infinito son (1, i, 0) y (1, -i, 0), la sección cónica es un círculo (ver puntos circulares en el infinito ). Si una sección cónica tiene uno real y uno imaginario punto en el infinito o tiene dos puntos imaginarios que no están conjugados entonces no una sección cónica real (sus coeficientes son complejos).
casos degenerados
casos degenerados
Para más detalles sobre este tema, véase sección cónica degenerada .
Lo que debe considerarse como un caso degenerado de una cónica depende de la definición que se utiliza y la configuración geométrica de la sección cónica. Hay algunos autores que definen una cónica no degenerada como una cuádrica de dos dimensiones. Con esta terminología no hay cónicas degeneradas (solamente degenerar cuadricas), pero que utilizarán la terminología más tradicional y evitar esa definición.
En el plano euclidiano, usando la definición geométrica, surge un caso degenerado cuando el plano de corte pasa por el vértice del cono. La cónica degenerada puede ser: un punto , cuando el plano corta el cono sólo en el ápice; una línea recta , cuando el plano es tangente al cono (que contiene exactamente un generador del cono); o un par de líneas que se cruzan (dos generadores de cono). [60] Estos corresponden respectivamente a las formas limitantes de una elipse, parábola, y una hipérbola.
Si una cónica en el plano euclidiano está por definirse en los ceros de una ecuación de segundo grado (es decir, como una cuádrica), a continuación, las cónicas degeneradas son: el conjunto vacío , un punto, o un par de líneas que pueden ser paralelas, se cruzan en un punto, o coincidir. El caso de dos líneas se produce cuando la expresión cuadrática factores en dos factores lineales, los ceros de cada uno dando una línea. En el caso de que los factores son los mismos, las líneas correspondientes coinciden y que se refieren a la línea como una doble línea (una línea con multiplicidad 2) y este es el caso anterior de un plano de corte tangente.
En el plano proyectivo real, ya que las líneas paralelas se encuentran en un punto en la línea en el infinito, el caso de la línea paralela plano euclidiano se puede ver como las líneas de intersección. Sin embargo, como el punto de intersección es el vértice del cono, el cono en sí degenera a un cilindro , es decir, con el vértice en el infinito. Otras secciones en este caso se denominan secciones cilíndricas . Las secciones cilíndricas no degenerados son elipses o círculos ().
Cuando se ve desde la perspectiva del plano proyectivo complejo, los casos degenerados de una cuádrica real (es decir, la ecuación cuadrática tiene coeficientes reales) pueden ser considerados como un par de líneas, posiblemente coincidente. El conjunto vacío puede ser la línea en el infinito considerado como una línea doble, un (real) es el punto de intersección de dos líneas conjugadas complejas y los otros casos como se mencionó anteriormente.
Para distinguir los casos degenerados de los casos no degenerados (incluyendo el conjunto vacío con este último) usando notación matricial, vamos Δ ser el determinante de la matriz 3 × 3 de la sección cónica: es decir, Δ = ( AC -
B 2
) F + CAMA - CD 2 - AE 2
/
4
/4
y dejar α = B 2 - 4 AC ser el discriminante. A continuación, la sección cónica es no degenerada si y sólo si Delta ≠ 0 . Si Δ = 0 tenemos un punto en el que α <0 , dos líneas paralelas (posiblemente coincidiendo) cuando α = 0 , o dos líneas que se cortan cuando α > 0 .
Lápiz de las cónicas
Lápiz de las cónicas
A (no degenerado) cónica está completamente determinada por cinco puntos en la posición normal (no para tres colineales) en un avión y el sistema de las cónicas que pasan a través de un conjunto fijo de cuatro puntos (de nuevo en un avión y no tres colineales) se llama un lápiz de las cónicas . Los cuatro puntos comunes se llaman los puntos de base del lápiz. A través de cualquier punto distinto de un punto base, pasa una sola cónica del lápiz. Este concepto se generaliza un lápiz de círculos .
En un plano proyectivo definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado dos cónicas se reúnen en cuatro puntos (contados con multiplicidad) y así, determinar el lápiz de las cónicas en base a estos cuatro puntos. Por otra parte, los cuatro puntos de base determinan tres pares de líneas ( cónicas degeneradas a través de los puntos de base, cada línea del par que contiene exactamente dos puntos de base) y así cada una de las cónicas lápiz contendrán como máximo tres cónicas degeneradas.
Un lápiz de las cónicas puede representada algebraicamente de la siguiente manera. Deje C 1 y C 2 sean dos cónicas distintas en un plano proyectivo definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K . Por cada par λ , μ de elementos de K , no ambos cero, la expresión:
representa una cónica en el lápiz determinado por C 1 y C 2 . Esta representación simbólica puede hacerse de hormigón con un ligero abuso de notación (utilizando la misma notación para denotar el objeto, así como la ecuación que define el objeto.) Pensando en C 1 , por ejemplo, como un ternario forma cuadrática , a continuación, C 1 = 0 es la ecuación de la "cónica C 1 ". Otra realización concreta se obtendría por el pensamiento de C 1 como la matriz simétrica de 3 × 3 que lo representa. Si C 1 y C 2 tienen este tipo de realizaciones concretas a continuación, todos los miembros del lápiz por encima de lo hará también. Dado que el ajuste utiliza coordenadas homogéneas en un plano proyectivo, dos representaciones concretas (ya sean ecuaciones o matrices) dan la misma cónica si difieren en una constante multiplicativa no nulo.
La intersección de dos cónicas
La intersección de dos cónicas
Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado en dos variables pueden ser vistas como las coordenadas de los puntos de intersección de dos secciones cónicas genéricos. En particular, dos cónicas pueden poseer ninguna, dos o cuatro puntos de intersección posiblemente coincidentes. Un método eficiente de localizar estas soluciones explota la homogénea representación matricial de las secciones cónicas , es decir, un 3x3 matriz simétrica que depende de seis parámetros.
El procedimiento para ubicar los puntos de intersección sigue estos pasos, donde las cónicas son representados por matrices:
teniendo en cuenta los dos cónicas
y , Considere el lápiz de las cónicas dada por su combinación lineal
identificar los parámetros homogéneos
que corresponden a la cónica degenerada del lápiz. Esto se puede hacer mediante la imposición de la condición de que y despejando
y . Estos resultan ser las soluciones de tercera ecuación grado.
dada la cónica degenerada
, Identifican los dos, posiblemente coincidente, las líneas que lo constituyen.
intersectar cada línea identificada con uno de los dos cónicas originales; este paso se puede hacer de manera eficiente utilizando la representación cónica dual de
los puntos de intersección representarán las soluciones al sistema de ecuaciones inicial.
generalizaciones
generalizaciones
Las cónicas pueden definirse con respecto a otros campos (es decir, en otras geometrías pappian ), pero algunos se debe tener cuidado cuando el campo tiene características dos como algunas fórmulas no se pueden utilizar. Por ejemplo, la representación matricial habitual de una forma cuadrática.
Una generalización de un no degenerado cónica en un plano proyectivo es un óvalo . Un óvalo es un conjunto de puntos que tiene las siguientes propiedades, que están en manos de las cónicas: 1) cualquier línea se cruza con un óvalo en ninguno, uno o dos puntos, 2) en cualquier punto del óvalo existe una única línea tangente.
Generalizar las propiedades de enfoque de las cónicas en el caso en el que hay más de dos focos produce conjuntos llamados cónicas generalizadas .
En otras áreas de las matemáticas
En otras áreas de las matemáticas
La clasificación en elípticas, parabólicas, hiperbólicas y es omnipresente en las matemáticas, y con frecuencia se divide un campo en subcampos claramente distintas. La clasificación surge principalmente debido a la presencia de una forma cuadrática (en dos variables Esto corresponde a la asociada discriminante ), pero también puede corresponder a la excentricidad.
forma clasificaciones de segundo grado:
Formas cuadráticas sobre los reales se clasifican por ley de la inercia de Sylvester , es decir, por su índice positivo, el índice de cero, y el índice negativo: una forma cuadrática en n variables se puede convertir en una forma diagonal , como
donde el número de coeficientes de +1, k, es el índice positivo, el número de coeficientes -1, L, es el índice negativo, y las variables restantes son el índice cero m, por lo
En dos variables las formas cuadráticas no cero se clasifican en:
- Definida positiva (también se incluye el negativo), correspondiente a elipses,
- Degenerado, correspondiente a parábolas, y
- Indefinida, correspondiente a hipérbolas.
En dos variables formas cuadráticas se clasifican por discriminante, de forma análoga a las cónicas, pero en dimensiones más altas de la clasificación más útil es el definitivo, (todos positivos o todos negativos), degenerados, (algunos ceros), o indefinida (mezcla de positivo y negativo, pero sin ceros). Esta clasificación la base de muchos que siguen.
Curvatura
La curvatura de Gauss de una superficie describe la geometría infinitesimal, y puede en cada punto de ser positivo - la geometría elíptica , cero - la geometría euclidiana (plana, parábola), o negativo - la geometría hiperbólica ; infinitesimalmente, al segundo orden de la superficie se parece a la gráfica de
(O 0), o . De hecho, por el teorema de uniformización todas las superficies se pueden tomar para ser globalmente (en todos los puntos) de curvatura positiva, plana, curvada o negativamente. En dimensiones más altas del tensor de curvatura de Riemann es un objeto más complicado, pero colectores con curvatura seccional constante son interesantes objetos de estudio, y tienen propiedades sorprendentemente diferentes, como se discutió en la curvatura seccional .
PDEs de segundo orden
Ecuaciones diferenciales parciales (PDE) de segundo orden se clasifican en cada punto como elíptica, parabólica o hiperbólica, por consiguiente como sus términos de segundo orden corresponden a una elíptica, parabólica o hiperbólica forma cuadrática. El comportamiento y la teoría de estos diferentes tipos de PDEs son notablemente diferentes - ejemplos representativos es que la ecuación de Poisson es elíptica, la ecuación del calor es parabólica, y de la ecuación de onda es hiperbólica.
Excentricidad clasificaciones incluyen:
Transformaciones reales de Möbius (elementos de PSL 2 ( R ) o la cubierta de 2 veces, SL 2 ( R ) ) se clasifican como elíptica, parabólica o hiperbólica en consecuencia ya que su media es de traza
o reflejo de la clasificación por la excentricidad.
La proporción de la varianza a media clasifica varias familias importantes de las distribuciones de probabilidad discretas : la constante de distribución como circular (excentricidad 0), distribuciones binomiales como elípticas, las distribuciones de Poisson como parabólica, y distribuciones binomiales negativos como hiperbólica. Esto se desarrolla en cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad discretas .
Ver también
Ver también
Las secciones cónicas Rebelión , las protestas de los estudiantes de la Universidad de Yale
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