Viaje a Marte
Viaje de la Tierra a Marte
El propósito de este programa es el de enviar una nave espacial desde la Tierra a Marte y regresar de nuevo a la Tierra siguiendo una trayectoria semielíptica denominada órbita de transferencia de Hohmann. Se supone que las órbitas de la Tierra y Marte son circulares y que las únicas fuerzas sobre la nave espacial son las debidas a la acción del Sol, despreciándose las influencias mutuas entre planetas y de estos con la nave.
Primero, tenemos que realizar el viaje de ida desde la Tierra a Marte. Observaremos las magnitudes de las velocidades angulares de ambos planetas. ¿Cuál ha de ser la distancia angular entre la Tierra y Marte en el momento del lanzamiento para que la nave llegue a Marte?. ¿Qué planeta ha de ir por delante?.Una vez que se haya alcanzado el planeta Marte, nos formularemos las mismas preguntas para realizar el viaje de regreso a la Tierra.
Movimiento de los planetas.
Supondremos que los planetas, Marte y la Tierra describen órbitas circulares alrededor del Sol
Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme,
GMmr2=mv2r v=GMr−−−−√
Donde M=1.98·1030 kg es la masa del Sol, G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y r es el radio de la trayectoria circular que describe el planeta.
Para la Tierra rt=1.49·1011 m, por lo que vt=29772.6 m/s
Para Marte rm=2.28·1011 m, por lo que vm=24067.3 m/s
Órbita de transferencia de Hohmann
Supondremos despreciables la influencia de los planetas sobre el movimiento de la nave espacial en su trayecto de la Tierra a Marte. La nave describirá una órbita elíptica uno de cuyos focos está en el Sol, su perihelio será el radio de la Tierra r1=1.49·1011 m y su afelio el radio de Marte r2=2.28·1011 m.
Conocidos r1 =rt y r2 =rm podemos determinar la velocidad de la nave espacial en el perihelio v1 y en el afelio v2 aplicando las propiedades de la fuerza de atracción.
La fuerza de atracción entre la nave y el Sol es central, el momento angular permanece constante.
mr1·v1·sin90º=m·r2·v2·sin90º
La fuerza de atracción es conservativa, la energía total permanece constante
12mv21−GMmr1=12mv22−GMmr2
Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas despejando v1 y v2
v1=2GMr2r1(r1+r2)−−−−−−−−−√ v2=2GMr1r2(r1+r2)−−−−−−−−−√
Datos: r1=1.49·1011 m, y r2=2.28·1011 m,
Incógnitas: v1=32742.7 m/s y v2=21397.6 m/s
La órbita elíptica que describe la nave espacial tiene un semieje mayor a=(r1+r2)=1.885·1011 m y una excentricidad ε=r2−r1r2+r1=0.21
Cuando se lanza la nave espacial desde las proximidades del planeta Tierra y en la dirección de su movimiento orbital, hemos de incrementar la velocidad de la nave en
v1-vt=32742.7-29772.6=2971.1 m/s para que llegue al planeta Marte.
En el viaje de regreso, cuando lanzamos la nave en las proximidades del planeta Marte y en la dirección de su movimiento orbital, debemos disminuir su velocidad en
v2-vm=21397.6-24067.3=-2669.7 m/s para que llegue a la Tierra.
Conocido el eje mayor de la órbita elíptica 2a=r1+r2 utilizamos la tercera ley de Kepler para calcular el periodo.
P2=4π2a3GM
Sustituyendo los datos, P=517.8 días. Para viajar de la Tierra a Marte o de Marte a la Tierra se emplea justamente la mitad de tiempo 258.9 días.
Posiciones del los planetas en el momento del lanzamiento de la nave espacial
Viaje de ida
Supongamos que la Tierra y Marte están situados tal como se muestra en la figura, cuando tiene lugar el lanzamiento de la nave espacial en las proximidades de la Tierra. La nave espacial precisa de 258.9 días para moverse desde la posición inicial más cercana al Sol (perihelio) a su encuentro con Marte, en la posición más alejada del Sol (afelio). Durante este tiempo el desplazamiento angular de Marte es
ωm·P/2=2.362 rad=135.3º
Donde ωm =vm/rm es la velocidad angular de Marte.
Para que la nave espacial se encuentre con Marte al cabo de 258.9 días. En el momento del lanzamiento, Marte debido a su menor velocidad angular, tiene que ir por delante de la Tierra un ángulo
θ=π-ωm·P/2=180º-135.3º=44.7º
Marte tiene que ir 44.7º por delante de la Tierra en el momento del lanzamiento de la nave espacial en las proximidades de la Tierra.
Viaje de vuelta
Para el viaje de vuelta, la Tierra y Marte tienen que estar adecuadamente situados en el momento del lanzamiento de la nave espacial en las proximidades de Marte. La nave espacial empleará 258.9 días en regresar al a Tierra, durante este tiempo la Tierra se ha desplazado un ángulo
ωt·P/2=4.470 rad=256.1º
Por tanto, la Tierra tiene que ir por detrás un ángulo de
θ=ωt·P/2-π=256.1º-180=76.1º
La Tierra tiene que estar por detrás de Marte en el momento del lanzamiento de la nave espacial en las proximidades Marte, un ángulo de 76.1º.
Duración del viaje completo
La nave espacial sale de las proximidades de la Tierra en el instante t=0. Las posiciones iniciales de la Tierra y Marte sonθt=0, y θm=0.780 rad=44.7º.
La nave espacial llega a las proximidades de Marte en el instante t=258.9 días. La posición de la Tierra y de Marte son respectivamente
θt=ωt·P/2=4.470 rad=256.1º
θm=0.780+ωm·P/2=3.14 rad=180º
Para iniciar el viaje de regreso tenemos que esperar un tiempo Δt hasta que la posición de Marte esté adelantado 76.1º=1.328 rad respecto de la Tierra. En el instante P/2+Δt la posición de la Tierra y Marte serán, respectivamente
θt=ωt·(P/2+Δt)
θm=0.780+ωm·(P/2+Δt)
En el momento de iniciar el regreso se debe de cumplir que
θm-1.328+n(2π)=θt
donde n es un número de vueltas completo, poniendo n=1 obtenemos el valor mínimo de Δt
Δt =445.2 días
El tiempo completo del viaje es
Viaje de ida a Marte=258.9 días
Estancia en Marte= 445.2 días
Viaje de vuelta a la Tierra=258.9 días
Total=963.1 días
A este tiempo hay que sumar el correspondientes a las operaciones de despegue y al aterrizaje en la superficie de ambos planetas.
Esfera de influencia de un planeta
Cuando se lanza una nave espacial desde la Tierra hacia Marte, la nave pasa por tres etapas distintas:
La salida bajo la acción de la Tierra y del Sol, siendo predominante la atracción terrestre.
La fase heliocéntrica, en casi todo el trayecto entre la Tierra y Marte
La llegada a Marte, la atracción de Marte predomina sobre la atracción del Sol
Hemos estudiado la segunda etapa, la trayectoria semielíptica seguida por la nave espacial entre la Tierra y Marte en el viaje de ida y en el viaje de vuelta. Ahora vamos a examinar el movimiento de la nave espacial en las proximidades de ambos planetas.
El radio de la esfera de influencia de un planeta es la distancia al planeta a la que podemos considerar despreciable la atracción del planeta en comparación con la fuerza que ejerce el Sol. Se calcula mediante la fórmula debida a Laplace
Re=d(MMS)2/5
siendo d la distancia entre el Sol y el planeta considerado, M la masa del planeta, y Ms la masa del Sol.
Esfera de influencia de la Tierra
Sabiendo que la masa de la Tierra es M=5.98·1024 kg, su radio RT=6.37·106 m, la distancia entre la Tierra y el Sol esd=1.496·1011 m y la masa del Sol MS=1.98·1030 kg. El radio de influencia de la Tierra es Re=926.7·106 m o bien 145.5 radios terrestres. El tamaño de las esfera de influencia de la Tierra es muy pequeño comparado con la distancia entre la Tierra y el Sol d=1.49·1011 m=23485 radios terrestres. De modo que la nave espacial seguirá una trayectoria heliocéntrica determinada casi exclusivamente por las condiciones iniciales en el momento del lanzamiento y la fuerza de atracción del Sol.
En la figura, se representa la fuerza que ejerce el sol FS y la fuerza que ejerce la Tierra FT sobre un objeto situado en el interior de la esfera de influencia de la Tierra, en el intervalo -150·RT a 150·RT alrededor del centro de la Tierra. Como podemos apreciar, la fuerza que ejerce el Sol es prácticamente constante e igual a la que ejerce sobre el centro de la Tierra. La fuerza que ejerce la Tierra es muy pequeña cuando el objeto se encuentra en el borde de la esfera de influencia, en comparación con la que ejerce el Sol, tal como muestran los cálculos más abajo.
Por ejemplo, si el objeto se encuentra a una distancia para Re=145.5·RT =926.7·106 m del centro de la Tierra, a su izquierda o a su derecha. La fuerza que ejerce la Tierra FT y la que ejerce el Sol FS es
FT=6.67⋅10−115.98⋅1024⋅m(926.7⋅106)2=4.64⋅10−4m NFS=6.67⋅10−111.98⋅1030⋅m(1.496⋅1011−926.7⋅106)2=5.97⋅10−3m NFS=6.67⋅10−111.98⋅1030⋅m(1.496⋅1011+926.7⋅106)2=5.83⋅10−3m N
Para llevar la nave espacial desde la superficie de la Tierra al borde de su esfera de influencia es necesario proporcionarle una velocidad aproximadamente igual a la velocidad de escape.
12mv2−GMTmRT=−GMTmRe
Introduciendo los datos v=11152.2 m/s muy próxima a la velocidad de escape ve=11190.7 m/s
Esfera de influencia de Marte
Sabiendo que la masa de Marte es M=6.578·1023 kg, su radio RM=3.394·106 m, la distancia entre la Marte y el Sol esd=2.28·1011 m y la masa del Sol MS=1.98·1030 kg. El radio de influencia de Marte es Re=584.1·106 m o bien 172.1 radios marcianos. El tamaño de las esfera de influencia de la Marte es muy pequeño comparado con la distancia entre la Marte y el Sol d=2.28·1011 m=67177 radios marcianos. De modo, que la nave espacial seguirá una trayectoria heliocéntrica determinada casi exclusivamente por las condiciones iniciales en el momento del lanzamiento y la fuerza de atracción del Sol.
En la figura, se representa la fuerza que ejerce el sol FS y la fuerza que ejerce Marte FM sobre un objeto situado en el interior de la esfera de influencia de Marte, en el intervalo -175·RM a 175·RM alrededor del centro de Marte. Como podemos apreciar, la fuerza que ejerce el Sol es prácticamente constante e igual a la que ejerce sobre el centro de Marte. La fuerza que ejerce Marte es muy pequeña cuando el objeto se encuentra en el borde de la esfera de influencia, en comparación con la que ejerce el Sol, tal como muestran los cálculos más abajo.
Por ejemplo, si el objeto se encuentra a una distancia para Re=172.1·RM =584.1·106 m del centro de Marte a su izquierda o a su derecha. La fuerza que ejerce Marte FM y la que ejerce el Sol FS es
FM=6.67⋅10−116.578.⋅1023⋅m(584.1⋅106)2=1.29⋅10−4m NFS=6.67⋅10−111.98⋅1030⋅m(2.28⋅1011−584.1⋅106)2=2.55⋅10−3m NFS=6.67⋅10−111.98⋅1030⋅m(2.28⋅1011+584.1⋅106)2=2.53⋅10−3m N
Para llevar la nave espacial desde la superficie de Marte al borde de su esfera de influencia es necesario proporcionarle una velocidad aproximadamente igual a la velocidad de escape.
12mv2−GMMmRM=−GMMmRe
Introduciendo los datos, v=5069.9 m/s
Energía necesaria para completar el viaje
La velocidad que tenemos que proporcionar a la nave espacial para que llegue al borde de la esfera de influencia de la Tierra es de 11152.2 m/s
Cuando se lanza la nave espacial desde las proximidades del planeta Tierra y en la dirección de su movimiento orbital, hemos de incrementar la velocidad de la nave en
v1-vt=32742.7-29772.6=2971.1 m/s
En total tenemos un cambio de velocidad de Δv1=11152.2+2971.1=14123.3 m/s
La nave espacial llega a las proximidades de Marte con velocidad v2=21397.6 m/s. Sin embargo, la velocidad del planeta Marte es vm=24067.3 m/s algo mayor. El cambio de velocidad es v2-vm=-2669.7 m/s. La nave espacial va más despacio, por delante del planeta y es capturado cuando llega a su esfera de influencia.
Como la velocidad de escape de la superficie de Marte es de 5069.9 m/s, el cambio de velocidad que los cohetes retropropulsores de la nave espacial tienen que realizar es de Δv2=5069.9-2669.7=2400.2 m/s para posar suavemente la nave en la superficie de Marte.
Los cohetes de la nave espacial tienen que proporcionar la energía para realizar, el cambio de velocidad para el viaje de ida y vuelta es Δv=2(Δv1+Δv2)=2·16523.5=33047.0 m/s.
Cuando la nave espacial desciende en las atmósferas de la Tierra y de Marte, puede disminuir su velocidad con la ayuda de la fuerza de fricción entre el vehículo y los gases de la atmósfera, reduciéndose la energía necesaria en estas dos etapas del vuelo.
Actividades
Se pulsa el botón titulado Nuevo, para que los planetas comiencen a moverse describiendo órbitas circulares. La posición inicial de un planeta está dada por un número aleatorio comprendido entre 0 y 360.Se pulsa el botón Pausa, para parar el movimiento, examinar las posiciones angulares de los planetas que vienen dadas en grados. Verificar si su diferencia es próxima a la distancia angular entre los dos planetas calculada para el momento del lanzamiento, a fin de que la nave espacial viaje con éxito de un planeta al otro.Se pulsa el botón Continua, para reanudar el movimiento.En el caso de que la distancia angular entre los dos planetas sea próxima al valor calculado para el momento del lanzamiento, se pulsa varias veces el botón Paso, para mover los planetas paso a paso y aproximarnos a la posición deseada.Se pulsa el botón Lanzar, para iniciar el viaje de la nave espacial entre la Tierra y Marte en el viaje de ida, o entre Marte y la Tierra en el viaje de vuelta.En el caso de no tener éxito, volver a repetir la operación de lanzamiento, examinando previamente las posiciones angulares, y comparándolas con la distancia angular calculada para el momento del lanzamiento.
En la parte derecha del applet, se proporcionan los datos:
Tiempo en días, (comprobar que la nave espacial tarda 259 días en realizar el viaje entre la Tierra y Marte).
La velocidad de los planetas y de la nave espacial en km/s
La posición angular de la Tierra y de Marte en grados