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Energía de los satélites
Una vez que has estudiado las constantes del movimiento de los planetas y satélites, llega el momento de su estudio desde el punto de vista energético.
Para responder a la pregunta ¿cuál es la energía mecánica de un satélite en órbita sobre la tierra? es necesario conocer tanto la energía cinética como potencial del mismo, ya que, como bien sabes:
La energía potencial es la debida al campo gravitatorio terrestre, cuyo valor ya estudiaste:
Para calcular la energía cinética basta con recuperar el valor de la velocidad que se obtuvo en el apartado anterior (), de modo que:
La energía mecánica se obtiene a partir de estas dos expresiones:
Importante
La energía mecánica de un satélite de masa
orbitando en torno a un planeta de masa en órbita circular de radio recibe el nombre de energía orbital (Eorb) y toma un valor
Esta es la energía total que posee un satélite orbitando en una órbita de radio
, siendo su valor como se observa la mitad de su energía potencial gravitatoria.
Lanzamiento Ariane
Dado que los satélites son lanzados desde la superficie terrestre, ya parten con una energía potencial dada por la distancia desde el punto de lanzamiento hasta la superficie terrestre. También tiene cierta energía cinética asociada a la traslación y rotación terrestre (piensa que, aunque no lo parezca, la tierra se está moviendo muy rápidamente, y nosotros con ella) pero su valor es muchísimo menor que la potencial gravitatoria correspondiente. La imagen adjunta muestra el proceso de lanzamiento y puesta en órbita de un satélite mediante una lanzadera Ariane.
Teniendo en cuenta este hecho, es posible encontrar una expresión analítica para la energía necesaria para que alcance la órbita deseada. Esta energía se suministrará en forma de energía cinética y, dado que la energía mecánica se conserva, según el principio de conservación de la energía, si se denomina
la energía mecánica en el momento del lanzamiento:
Los valores de la energía potencial en el momento del lanzamiento () y la energía orbital ()son conocidos. Siendo y el radio y la masa de la tierra respectivamente, y sustituyendo sus valores en la ecuación anterior se obtiene:
Dado que esta energía es cinética, resulta inmediato calcular la velocidad con la que debe lanzarse el satélite para ponerlo en órbita:
Importante
Para poner un satélite de masa
en una órbita circular de radio en torno a la Tierra es necesario suministrarle una energía:
La velocidad con la que debe lanzarse (velocidad de lanzamiento) es:
Recuerda que
se refiere al radio de la órbita, respecto al centro de la Tierra, por lo que si se referencia por una altura sobre la superficie terrestre, se cumplirá que .
Ejercicio resuelto
Satélite comunicaciones
Se desea colocar un satélite de comunicaciones de masa 200 kg en una órbita situada a 24 km de altura.
DATOS: G = 6.67·10-11 N·m2·kg-2 , Rtierra = 6370 km , Mtierra = 5.98·1024 kg
a) ¿Qué energía deberá suministrarse al mismo para que quede en esa órbita?
Tal y como se ha visto, la energía mecánica se conserva en todo momento, y la energía que deberá suministrarse en el momento del lanzamiento será la antes calculada: (no olvides que el radio de la órbita será igual al radio de la tierra más la altura de la órbita respecto a la superficie)
b) Calcula la velocidad de lanzamiento necesaria.
La velocidad viene dada por:
Reflexión
Luna
Sabiendo que la Luna tiene una masa de 7.18·1022 kg y que su radio es aproximadamente la cuarta parte del radio terrestre (RT = 6370 km), calcula la velocidad de lanzamiento necesaria para colocar el satélite del ejercicio resuelto anterior en órbita en torno a la Luna
Analiza el resultado.
Según el enunciado, el radio de la Luna será RL = RT/4 = 6370/4 = 1593 km.
La velocidad necesaria para colocar el satélite en órbita selenita será en este caso:
La velocidad necesaria es mucho menor, menos de una cuarta parte de la necesaria para el lanzamiento desde la Tierra. Esto se explica por la menor masa y radio lunares.
Velocidad de escape
Se ha calculado la energía necesaria para situar un satélite en una órbita circular determinada. Si se le suministra una energía menor, el término de la energía potencial será predominante y el satélite acabará cayendo tarde o temprano a la tierra. Sin embargo, si la energía es mayor, el satélite puede acabar saliendo fuera de la influencia del campo gravitatorio del planeta, tanto más rápidamente cuanto mayor sea la energía suministrada.
Fíjate en la siguiente animación interactiva, que simula el denominado "Cañón de Newton", un ejemplo utilizado comúnmente para ilustrar una órbita alrededor de un planeta. En ella se coloca un cañón en lo alto de una montaña disparando su munición de forma horizontal. La montaña necesita ser muy alta para evitar la atmósfera terrestre y así poder ignorar los efectos de fricción sobre la bola de cañón.
Interactúa con ella, variando la velocidad de lanzamiento (Speed), presiona el botón de lanzamiento (Fire) y comprueba las distintas trayectorias del proyectil para distintas velocidades.
Observa que, para pequeñas velocidades, el proyectil cae sobre la superficie terrestre. Llegado a un punto ya no cae y colisiona con el propio cañón y, finalmente, a velocidades muy grandes escapa del campo gravitatorio terrestre. ¿Te atreves a calcular los valores de las velocidades para los que estas transiciones tienen lugar?
Para la última transición, el caso límite ocurre cuando el satélite tiene suficiente energía para abandonar completamente la atracción gravitatoria del planeta, cosa que ocurrirá cuando la distancia al mismo sea infinita, momento en el que el satélite estará en reposo. En ese momento su energía mecánica se anulará (
).
La velocidad de lanzamiento necesaria para que esto se produzca se conoce como velocidad de escape y su valor puede calcularse de una forma sencilla para cualquier planeta de masa
y distancia de lanzamiento respecto al centro del planeta:
Importante
La velocidad de escape es la velocidad que debe suministrarse a un cuerpo para que escape de la atracción gravitatoria del planeta. Su valor es:
Observa que este valor es independiente de la masa del cuerpo (satélite) lanzado y sólo depende de la masa del planeta y del radio del mismo (realmente, de la distancia respecto de su centro a la que se produce el lanzamiento).
Ejercicio resuelto
Calcula la velocidad de escape de un cuerpo de 1000 kg de masa que se lanza desde la superficie terrestre. DATOS: G = 6.67·10-11 N·m2·kg-2 , Rtierra = 6370 km , Mtierra = 5.98·1024 kg
Sustituyendo los datos correspondientes en la ecuación:
Luego es necesario alcanzar una velocidad de más de 40000 km/h para escapar del campo gravitatorio terrestre. Observa que el dato de la masa del objeto no se ha utilizado para nada, pues según se ha indicado la velocidad de escape es independiente de la masa del objeto.
Autoevaluación
Queremos lanzar dos sondas espaciales fuera del alcance gravitatorio de la Tierra. La primera tiene un peso de 50 kg y la segunda de 150 kg. ¿Cuál de ellas tendrá que ser lanzada a una velocidad inicial mayor para hacerlo?
La de 50 kg
La de 150 kg
Ambas precisan la misma velocidad de lanzamiento
Sugerencia Estamos hablando de velocidad de escape terrestre..... ¿Depende de la masa del cuerpo lanzado?
Reflexión
Calcula la velocidad de escape para un objeto lanzado desde la superficie en Júpiter. DATOS: G = 6.67·10-11 N·m2·Kg-2, RJúpiter = 70000 Km, MJúpiter = 1.9·1027 Kg
Con estos datos:
La atracción gravitatoria en Júpiter es tan fuerte que hace falta lanzar un objeto con ¡¡ más de 216000 km/h !! para conseguir que escape de su campo gravitatorio.
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