La tradizione ci riporta 10 assiomi, alcuni dei quali, detti Postulati, hanno un significato geometrico e altri, detti nozioni comuni, hanno un'applicazione più ampia. Introdurremo postulati e nozioni comuni via via, ma per facilitare la consultazione, riportiamo qui tutti gli enunciati.
Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una e una sola retta;
Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
Tutti gli angoli retti [def. 10] sono congruenti tra loro;
Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli hanno somma minore di due retti.
Cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro
Aggiungendo (quantità) uguali a (quantità) uguali le somme sono uguali
Sottraendo (quantità) uguali da (quantità) uguali i resti sono uguali
Cose che coincidono con un'altra sono uguali all'altra
L'intero è maggiore della parte
Le prime quattro nozioni comuni riguardano la relazione di uguaglianza. Si tratta della relazione di uguaglianza tra segmenti consecutivi che abbiamo assunto come primitiva.
Ma in geometria abbiamo molte altre nozioni di equivalenza interessanti. Ad esempio
coincidenza quando due oggetti sono in realtà uno solo
equivalenza quando due oggetti hanno la stessa misura
similitudine quando due oggetti sono uguali per forma ma non necessariamente per dimensioni
Le nozioni comuni varranno anche per tutte queste relazioni.
chiamiamo relazione di equivalenza ~ una relazione che soddisfa 3 proprietà:
1) x~x per ogni possibile x [riflessività]
2) se x~y allora y~x [simmetria]
3) se x~y e y~z allora x~z [transitività]