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Il teorema inverso del 5 è il primo esempio di dimostrazione per assurdo ne Gli Elementi.
I ragionamenti per assurdo, o per esclusione, sono un modo di argomentare molto comune, non solo in matematica. Le dimostrazioni per assurdo sono in genere molto eleganti, ma meno istruttive delle dimostrazioni costruttive, in cui oltre a dimostrare che una affermazione è vera, si insegna a costruire un esempio.
La dimostrazione per assurdo:
La dimostrazione per assurdo:
Abbiamo già visto che le frasi
"tutti i puffi sono blu"
e
"non esiste un puffo che non sia blu",
hanno lo stesso significato; diciamo che sono due enunciati diversi della stessa proposizione.
Nella prima frase, la premessa (ipotesi) è che l'individuo sia un puffo, la conseguenza (tesi) è che sia blu: se è un puffo, allora è blu.
La seconda frase dice che l'ipotesi e la negazione della tesi della frase originale sono incompatibili: un puffo non blu è assurdo.
Con riferimento alla figura qui accanto (detta diagramma di Eulero-Venn),
se un punto è nel triangolo, allora è nel cerchio
è equivalente a
Non esistono punti che siano contemporaneamente nel triangolo e fuori dal cerchio.
L'ipotesi del primo enunciato è che il punto sia nel triangolo, la tesi è che il punto sia nel cerchio.
Nel secondo enunciato, che ha lo stesso significato, l'ipotesi è che il punto sia nel triangolo e contemporaneamente non sia nel cerchio, mentre la tesi è che punti di questo tipo non ne esistano (assurdo).
Ancora una volta, l'ipotesi e la negazione della tesi sono incompatibili.
Il motivo per cui ci sforziamo di trasformare il primo enunciato nel secondo è che a volte il secondo enunciato è più facile da dimostrare rispetto a quello originale.
La dimostrazione per assurdo di un enunciato consiste nel dimostrare non possono essere contemporaneamente vere l'ipotesi e la negazione della tesi.
Partiamo dalla negazione della tesi e mostriamo che viene negata l'ipotesi, il che è assurdo perché va contro le premesse.
In altre parole, invece di dimostrare direttamente l'enunciato dato, si dimostra che se è falsa la tesi, non è possibile che sia vera l'ipotesi:
Assumendo che siano valide sia l'ipotesi che la negazione della tesi, otteniamo un 'assurdo'.
Vediamo l'idea nella pratica con il teorema inverso del triangolo isoscele:
Teorema 6:
Se un triangolo ha due angoli uguali, saranno uguali anche i lati opposti a questi angoli.
Ragioniamo per assurdo: neghiamo la tesi supponendo che i lati siano diversi e facciamo vedere che arriviamo ad una contraddizione.
Supponiamo che il nostro triangolo, pur avendo gli angoli alla base uguali, abbia i lati opposti a questi angoli l'uno maggiore dell'altro. Chiamiamo A il vertice, AB il lato maggiore e AC il lato minore.
Prendiamo su AB un segmento BD uguale ad AC (teorema 2½). Siccome AB è maggiore di AC, D non può coincidere con A.
Ma i triangoli BCD e BCA sono uguali per il primo criterio, perché
BC è in comune
BD = AC per costruzione
gli angoli compresi ∠ABC e ∠ACB sono uguali per ipotesi
Ma questo è impossibile perché il triangolo BCD è una parte del triangolo BCA e la parte dovrebbe essere minore del tutto (nozione comune 5).
Dunque non è possibile che gli angoli alla base siano uguali e contemporaneamente i lati loro opposti siano diversi:
se gli angoli alla base sono uguali, i lati opposti devono essere uguali.
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