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Problema 12
Condurre una perpendicolare ad una data retta che passi per un dato punto
Chiamo r la retta data e P il punto dato.
prendo un punto A sulla retta r
Se AP è perpendicolare ad r, ho finito
Altrimenti, disegno la circonferenza di centro P e raggio AP (postulato 3)
chiamo B il secondo punto di intersezione (postulato di intersezione)
individuo il punto medio M del lato opposto (teorema 10)
traccio la mediana PM del triangolo, che è la retta cercata (postulato 1)
Teorema 12
La retta appena costruita passa per P ed è perpendicolare alla retta r
AP = BP sono perché raggi della stessa circonferenza (definizione 15).
AM = BM per costruzione
PM = PM per riflessività
Allora i triangoli APM e BPM sono uguali per il terzo principio
Dunque gli angoli AMP e BMP sono uguali e, per la definizione 10, retti
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