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La dimostrazione per assurdo è particolarmente utile nei teoremi di unicità, come il seguente:
Teorema 7:
Non esistono due diversi triangoli che abbiano
la base AB in comune,
i lati che hanno origine in A, così come quelli che hanno origine in B, di pari lunghezza
giacciano nello stesso semipiano rispetto alla base.
L'enunciato originale di Euclide "dallo stesso segmento non si possono innalzare dalla stessa parte verso due punti diversi altri due segmenti rispettivamente uguali a due segmenti aventi i medesimi estremi dei segmenti iniziali" è di più difficile lettura. Un altro enunciato equivalente è
Enunciato alternativo 7':
Due circonferenze di centri diversi A e B si incontrano al massimo in un punto in ognuno dei due semipiani delimitati dalla retta AB
Per assurdo: supponiamo che esistano due punti diversi C e D, vertici di due triangoli ABC e ABD che hanno
AC=AD
BC=BD
sono nello stesso semipiano rispetto alla retta AB.
Fissiamo i nomi di C e D in modo che ∠BAC > ∠BAD, come in figura.
Abbiamo 3 casi:
D è fuori dal triangolo ABC (vedi figura)
D è sul segmento BC
D è dentro il triangolo ABC
Caso 1: D è fuori dal triangolo ABC
Il triangolo ACD è isoscele, e dunque ∠ACD = ∠ADC per il teorema 5
Anche il triangolo ACD è isoscele, e dunque ∠BCD = ∠BDC per il teorema 5
Ma se D è nello stesso semipiano di C ed esterno al triangolo ABC, ∠BCD è una parte di ∠ACD e dunque è minore
Analogamente, ∠BCD è una parte di ∠ACD e dunque è minore
Dunque gli angoli di un triangolo isoscele sarebbero contemporaneamente maggiori e minori di quelli del secondo triangolo isoscele, il che è assurdo.
Caso 2: D è sul segmento BC
Il lato BD sarebbe parte del lato BD pur essendo i due uguali, il che è assurdo.
Caso 3: D è fuori dal triangolo ABC
La dimostrazione è simile a quella del caso 1 ma gli angoli da considerare per il triangolo isoscele BCD sono quelli esterni
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