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Questo teorema stabilisce che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali ed è noto come teorema del triangolo isoscele o pons asinorum.
Il riferimento ai somari deriva dal fatto che gli studenti "asini" tendevano ad usare, nella dimostrazione, proprietà dei triangoli non ancora dimostrate, confondendo questo teorema con i successivi. Ma affinché l'edificio stia in piedi, ogni mattone deve poggiare sul sottostante, altrimenti si costruiscono castelli in aria. Il nome "ponte" fa riferimento alla figura utilizzata da Euclide nella dimostrazione.
La dimostrazione di Euclide è piuttosto ingegnosa ed è basata sull'uguaglianza di due coppie di triangoli aggiuntivi che vengono costruiti:
Prolungo i lati (postulato 2).
Prendo un punto F sul prolungamento di AB (postulato 2).
Traccio la circonferenza di centro A e lato AF (postulato 3).
Chiamo G il punto di intersezione tra la circonferenza e il prolungamento di AC (postulato di intersezione)
I triangoli AFC e ABG sono uguali;
in particolare, BG=CF e ∠ AFC = ∠ AGB.
Ma allora i triangoli BCF e BCG sono uguali!
In particolare gli angoli ∠ CBF e ∠ BCG sono uguali.
E dunque ∠ ABC = ∠ ACB
5. Perché i triangoli AFC e ABG sono uguali?
5. Perché i triangoli AFC e ABG sono uguali?
Per il primo criterio di uguaglianza. Infatti
il lato AB è uguale al lato AC per ipotesi (definizione di triangolo isoscele);
il lato AG è uguale al lato AF per costruzione (raggi della stessa circonferenza, def 15);
l'angolo compreso tra AB e AG e quello compreso tra AC e AF coincidono (si tratta dello stesso angolo)
7. Perché i triangoli BCF e BCG sono uguali?
7. Perché i triangoli BCF e BCG sono uguali?
Per il primo criterio di uguaglianza. Infatti
BF è uguale a CG perché BF = AF - AB = AG - AC = CG (terza nozione comune);
CF = BG (dimostrato al punto 6);
l'angolo ∠ BFC compreso tra CF e BF è uguale all'angolo ∠ BGC compreso tra BG e CG (dimostrato al punto 6).
9. Perché gli angoli ∠ ABC e ∠ ACB sono uguali?
9. Perché gli angoli ∠ ABC e ∠ ACB sono uguali?
Sono possibili due diversi argomenti, ambedue basati sulla terza nozione comune e sul fatto che BCF = BCG (dimostrato al punto 7).
Gli angoli ∠ ABF e ∠ ACG sono ambedue piatti (e quindi uguali, per il postulato 4) e dunque ∠ ABC = ∠ ABF - ∠ CBF = ∠ ACG - ∠ CBG = ∠ ACB.
Gli angoli ∠ ABG e ∠ ACF sono uguali, perché angoli corrispondenti in triangoli uguali (ABG = ACF, dimostrato al punto 5) e analogamente ∠ BCF = ∠ CBG per lo stesso motivo (BCG = BCF, dimostrato al punto 7); dunque ∠ ABC = ∠ ABG - ∠ CBG = ∠ ACF - ∠ BCF = ∠ ACB
Euclide usa il secondo argomento, perché ai suioi tempi non esisteva la nozione di angolo piatto (né di angoli maggiori). Il primo argomento (che possiamo esprimere a parole dicendo che ∠ ABC e ∠ ACB sono supplementari ad angoli uguali) è forse più semplice.
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