Enti primitivi

Gli enti primitivi sono gli oggetti base di cui parla una teoria.

Non c'è bisogno di definirli, se non attraverso le loro proprietà, cosa a cui provvedono i postulati.

Sarebbe naturale aggiungere alla lista la circonferenza, ma Euclide ha preferito inserire una relazione primitiva invece dell'ente primitivo circonferenza:

In altre parole, se due segmenti hanno un estremo in comune, possiamo dire se sono "uguali" o meno.

Definizione: due segmenti che hanno un estremo in comune vengono detti consecutivi.

In maniera analoga, Euclide usa una nozione di uguaglianza anche per gli angoli e da questa definisce una relazione di uguaglianza per i poligoni. Purtroppo, le versioni de gli elementi che ci sono giunte sono quasi certamente rimaneggiate in questa parte.

Vengono presentati come teoremi (con tanto di pseudo-dimostrazioni) i criteri di uguaglianza dei triangoli. Non solo non è possibile dimostrare questi teoremi sulla base dei cinque postulati, ma anche l'ordine di presentazione risulta innaturale.

Viene prima presentato il primo criterio di uguaglianza (teorema 4) dal quale è possibile dedurre gli altri due criteri, in particolare il terzo (teorema 8).

Il punto è che mentre per enunciare il terzo criterio (due triangoli sono uguali se hanno tutti e tre i lati uguali) abbiamo bisogno della sola relazione primitiva di uguaglianza tra segmenti, per enunciare il primo criterio (due triangoli sono uguali se hanno uguali due lati e l'angolo compreso) ha bisogno di una seconda relazione di uguaglianza, sulla quale ancora non si è detto nulla: l'uguaglianza tra angoli.

Si dovrebbe:

• assumere il terzo criterio come postulato (chiamo uguali due triangoli che hanno i lati uguali a due a due)

• definire l'uguaglianza tra gli angoli (due angoli sono detti uguali se limitati da lati corrispondenti in triangoli uguali)

• dimostrare il primo ed il secondo criterio sulla base del terzo.

Ma sarebbe necessario cambiare l'ordine di presentazione dei teoremi. Siccome vogliamo evitarlo, assumiamo una relazione primitiva extra:

• L'uguaglianza tra segmenti è invece l'astrazione di un'operazione concreta: se due segmenti AB e BC hanno un estremo in comune, possiamo immediatamente capire se sono uguali usando un compasso: puntiamo il compasso nell'estremo comune B, lo apriamo fino ad A, tracciamo la circonferenza e controlliamo sa passa per C. In caso affermativo diciamo che i segmenti sono "uguali".

Stiamo quindi spiegando cosa intendiamo con la parola uguale. Così come il significato delle parole punto, segmento e piano è chiarita dai 5 postulati di Euclide, il significato della parola uguale è chiarito dalle 5 nozioni comuni.

La tradizione ci ha tramandato delle pseudo-definizioni per gli enti primitivi. Buona parte della critica pensa che queste siano aggiunte di qualche commentatore successivo e non opera di Euclide. Sia come sia, queste vanno intese come spiegazioni per aiutare il lettore e non come definizioni di oggetti matematici.

A titolo di curiosità, riportiamo le pseudo-definizioni nell'edizione di Betti e Brioschi:

I. Il punto è ciò che non ha parti, ovvero che non ha grandezza alcuna.

II. La linea è una lunghezza senza larghezza.

IV. La linea retta è quella che è situata ugualmente rispetto a tutti i suoi punti.

V. La superficie è ciò che solamente ha lunghezza e larghezza.

VI. I termini della superficie sono linee.

VII. La superficie piana è quella che è situata ugualmente rispetto alle sue linee rette.

Come vediamo, alcune di queste frasi sono assolutamente incomprensibili, altre sono spiegazioni. Solo in pochi casi le aggiunte posteriori colmano dimenticanze di Euclide.