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C'è chi sostiene che tutta la filosofia occidentale altro non sia che un commento all'opera di Platone.
La dottrina della conoscenza platonica considera l'apprendimento come una riscoperta di idee che erano note prima della nascita ma che sono state dimenticate venendo al mondo. Particolarmente importante la conoscenza della matematica (intesa nel senso molto vasto di scienza esatta), che collega la realtà sensibile al mondo delle idee. Le idee matematiche vengono indagate con metodi razionali.
La concezione platonica è ben illustrata dal dialogo 'Menone', in cui Socrate (maestro di Platone, da lui idolatrato) spiega ad un comune schiavo, privo di ogni conoscenza matematica, come costruire un quadrato di area doppia di un quadrato assegnato:
Primo momento dell’esperimento maieutico
SOCRATE: Dimmi un po’, ragazzo, sai tu che questo spazio qui è un quadrato (ABCD)?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: Il quadrato è dunque una superficie che ha uguali tutti questi lati, che sono quattro (AB, BC, CD, DA).
RAGAZZO: Certamente.
SOCRATE: E non ha forse uguali anche queste linee qui, che lo attraversano nel mezzo (EF, GH)?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: E non potrebbe esserci forse una superficie come questa e più grande e più piccola?
RAGAZZO: Certamente.
SOCRATE: Se dunque questo lato qui (AB) fosse di due piedi, e anche quest’altro (BC) di due, di quanti piedi sarebbe tutto lo spazio che c’è qua dentro? Fa’ questa considerazione: se da questa parte (AB) fosse di due piedi e da quest’altra (BC) di uno solo, la superficie non sarebbe forse di una volta due piedi [ossia di due piedi al quadrato]?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: Ma, poiché anche questo lato (BC) è di due piedi, non diventa di due volte due piedi [quattro piedi al quadrato]?
RAGAZZO: Sì, diventa.
SOCRATE: Dunque è due volte due piedi?
RAGAZZO: Esatto.
SOCRATE: E quanti sono, allora, due volte due piedi? Fa' il conto e dillo.
RAGAZZO: Quattro, o Socrate.
SOCRATE: E non potrebbe darsi un’altra superficie doppia di questa, ma tale da avere tutti i lati eguali come questa?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: Di quanti piedi sarà dunque?
RAGAZZO: Otto.
SOCRATE: E ora cerca di dirmi di quanto sarà ciascun lato di essa. Il lato di questa è di due piedi; e, allora, di quanto sarà quello di quella doppia?
RAGAZZO: È chiaro, o Socrate, che sarà doppio.
SOCRATE: Vedi, o Menone, che io non gli insegno, ma che lo interrogo su ogni cosa? Ed ora, costui ritiene di sapere quale sia il lato dal quale deriverà l’area di otto piedi: o non ti sembra?
MENONE: A me sì.
SOCRATE: E lo sa, dunque?
MENONE: Per nulla.
SOCRATE: Però ritiene che derivi dal lato doppio.
MENONE: Sì.
Secondo momento dell’esperimento maieutico: lo schiavo di Menone pensa di aver capito come calcolare il lato di un quadrato di otto piedi
SOCRATE: Osserva come verrà via via ricordandosi, come appunto deve ricordarsi. Dimmi ragazzo: dal lato doppio, dici che ha origine la superficie doppia? E tale, dico, che non sia di qui lunga e di qui corta, ma che sia eguale da ogni parte come questa qui, però doppia di questa, ossia di otto piedi. Ma sta’ attento, se ti sembra ancora che possa derivare dal lato doppio.
RAGAZZO: A me sì.
SOCRATE: Bene. Questa linea (AB) non diviene il doppio di quest’altra (BC), se le aggiungiamo un’altra linea lunga lo stesso (BI)?
RAGAZZO: Certamente.
SOCRATE: Da questa linea doppia, dici tu, deriverà la superficie di otto piedi, quando si tracceranno quattro lati come questi.
RAGAZZO: Esattamente.
SOCRATE: Disegniamole allora, lo spazio che tu dici di otto piedi non è codesto (AILM)?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: Ma in questa superficie non vi sono forse questi quattro spazi [i quadrati ABCD, BINC, DCOM e CNLO] ognuno dei quali é uguale a questo di 4 piedi ?
RAGAZZO: Sì
SOCRATE: E quanto diventa allora? Non diventa quattro volte questa?
RAGAZZO: E come no?
SOCRATE: E allora, è il doppio quattro volte tanto?
RAGAZZO: No, per Zeus.
SOCRATE: Ma quante volte?
RAGAZZO: Quadruplo.
SOCRATE: Dunque, dal lato doppio, o ragazzo, non deriva una superficie doppia, ma quadrupla.
RAGAZZO: Dici il vero.
SOCRATE: E quattro volte quattro, fanno sedici, no?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: E allora, da quale linea nasce uno spazio doppio? Dalla questa linea qui (AI) nasce uno spazio quadruplo, non l’hai detto tu?
RAGAZZO: Sì, lo dissi.
SOCRATE: E quella di quattro, dalla metà di questa linea qui (AI)?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: Ebbene, l’area di otto piedi non è forse doppia di questa qui (ABCD), e metà di quest’altra (AILM)?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: E allora, non deriverà da un lato maggiore rispetto a questo (AB), ma minore rispetto a quest’altro (AI); o no?
RAGAZZO: Così mi pare.
SOCRATE: Bene; quello che a te sembra devi rispondere. E dimmi: questo lato (AB) non era di due piedi e quest’altro (AI) di quattro?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: Bisogna allora che il lato della superficie di otto piedi sia maggiore di questo di due, ma minore di quello di quattro.
RAGAZZO: Bisogna.
SOCRATE: Cerca allora di dire di che lunghezza tu affermi che esso debba essere.
RAGAZZO: Di tre piedi.
SOCRATE: Se dev’essere di tre piedi, aggiungiamo dunque a questo lato (AB) la metà di questo (BP), e avremo i tre piedi (AP). Questi sono due piedi (AB) e questo uno (BP). Alla stessa maniera, a partire di qua si ottengono due piedi (PQ) più un piede (QR). Ne deriva, così, l’area che tu dici (APRS).
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: Ma se da questa parte (AB) è di tre, e da quest’altra (PR) di tre, l’intera superficie non diventa di tre volte tre piedi?
RAGAZZO: Sembra.
SOCRATE: E tre volte tre, quante volte sono?
RAGAZZO: Nove.
SOCRATE: E il doppio, di quanti piedi doveva essere?
RAGAZZO: Otto.
SOCRATE: Dal lato di tre piedi non deriva per nulla la superficie di otto.
RAGAZZO: No, certo.
SOCRATE: Ma allora da quale lato? Cerca di dircelo con esattezza; e se non vuoi fare calcoli, indicaci almeno da quale.
RAGAZZO: Ma per Zeus, o Socrate, io non lo so.
Ora lo schiavo di Menone sa di non sapere, ed è pronto per apprendere
SOCRATE: Comprendi ora, o Menone, a che punto si trova attualmente nel processo del ricordare? Prima, cioè, non sapeva quale fosse il lato del quadrato di otto piedi, come del resto neppure ora lo sa; tuttavia, allora credeva di saperlo, e rispondeva con sicurezza come se sapesse e non riteneva di aver dubbi; ora è convinto di aver dubbi e come non sa, così neppure crede di sapere.
MENONE: Dici il vero.
SOCRATE: Non si trova dunque, ora, in una situazione migliore, relativamente alla cosa che non sapeva?
MENONE: Anche questo mi pare:
SOCRATE: Avendolo fatto dubitare, pertanto, e avendolo fatto intorpidire come fa la torpedine, gli abbiamo forse nuociuto?
MENONE: Non mi pare.
SOCRATE: Dunque, come sembra, gli abbiamo recato giovamento, al fine della ricerca di come stia effettivamente la cosa. Ora, infatti, ricercherebbe anche di buon grado, dal momento che non sa; mentre allora, facilmente, di fronte a molti e spesso avrebbe creduto di dire bene, affermando che per ottenere una superficie doppia, bisogna prendere il lato doppio in lunghezza.
MENONE: Sembra.
SOCRATE: Credi, dunque, che egli si sarebbe messo a cercare o ad imparare ciò che egli riteneva di sapere non sapendolo, prima che fosse caduto nel dubbio ritenendo di non sapere, e che avesse desiderato di conoscere?
MENONE: Non mi pare, o Socrate.
SOCRATE: Dunque, l’intorpidimento gli ha giovato?
MENONE: Mi sembra.
Terzo momento dell’esperimento maieutico
SOCRATE: Osserva, ora, da questo dubbio come scoprirà la verità, ricercando insieme a me, mentre io non farò altro che interrogarlo, senza insegnargli. E fa bene attenzione che tu non mi colga ad insegnargli o a spiegargli, e non solo ad interrogarlo intorno alle sue convinzioni. Dimmi, dunque: non è di quattro piedi questa superficie (ABCD)? Comprendi?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: Potremmo aggiungere ad essa quest’altra eguale (BINC)?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: E quest’altra terza, uguale a ciascuna di queste (CNLO)?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: E non potremmo anche completare la figura in questo angolo (DCOM)?
RAGAZZO: Certamente.
SOCRATE: E non risulteranno queste quattro superfici eguali?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: E, allora, tutto questo intero (AILM), quante volte diventa più grande di questo (ABCD)?
RAGAZZO: Quattro volte.
SOCRATE: Per noi, invece, doveva essere il doppio; o non ricordi? RAGAZZO: Certamente.
SOCRATE: Or vedi codeste linee [Socrate traccia le diagonali], ch’io segno da un angolo all’altro (DB, BN, NO, OD): non spartiscono forse a metà ciascuno di questi quattro spazi?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: E queste quattro linee uguali non racchiudono un nuovo spazio [il quadrato che ha per linee le diagonali]?
RAGAZZO: Sì, lo racchiudono.
SOCRATE: Considera allora: quanto grande è questa superficie (BNOD)?
RAGAZZO: Non lo so.
SOCRATE: Di questi quadrati, che sono quattro, ciascuna linea [diagonale] non ha tagliato internamente la metà di ciascuno? O no?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: E quante ve ne sono di queste metà in questa figura (BNOD)?
RAGAZZO: Quattro.
SOCRATE: E quante in quest’altra (ABCD)?
RAGAZZO: Due.
SOCRATE: E il quattro che cos’è rispetto al due?
RAGAZZO: Il doppio.
SOCRATE: Questa superficie, dunque, di quanti piedi diventa?
RAGAZZO: Di otto piedi.
SOCRATE: Da quale linea?
RAGAZZO: Da questa (DB).
SOCRATE: Da quella che abbiamo tracciata da un angolo all’altro del quadrato di otto piedi?
RAGAZZO: Sì.
SOCRATE: Coloro che se ne intendono chiamano questa linea diagonale; sicché, se essa ha nome diagonale, allora dalla diagonale, come tu dici, o ragazzo di Menone, si può ottenere l’area doppia.
Questa concezione platonica di una matematica che consiste di verità immutabili che vanno solo scoperte ha ancora oggi i suoi sostenitori, più o meno consapevoli.
Euclide ci mostrerà invece una teoria matematica concepita come un modello: assumendo le premesse come valide, saranno valide anche le conseguenze. La matematica è quindi un prodotto culturale, espressione del suo autore e della civiltà in cui viene concepita.
Nulla infatti obbliga a scegliere certe premesse come regole base del modello. Vale la pena menzionare che nella storia, in particolare nel cinquantennio a cavallo del 1900, sono sorte numerose altre proposte di assiomi alternativi a quelli di Euclide, alcune delle quali del tutto equivalenti e alcune che invece danno luogo a geometrie differenti, usualmente dette "non euclidee". Torneremo su alcune di queste quando spiegheremo gli assiomi di Euclide nel dettaglio.
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