Problema 1

Gli Elementi cominciano con un errore di Euclide.  Un errore molto istruttivo, che sarà messo in luce solo dopo 2000 anni da uno dei più importanti matematici della storia: Gottfried Wilhelm Leibniz.  

L'errore consiste nel dare per scontata una proprietà che si evince dalla figura, o dall'esperienza, ma non dai postulati.  Nel caso in esame, Euclide dà per scontato che due circonferenze che hanno come raggio lo stesso segmento si debbano intersecare.  Dalla figura si vede benissimo, ma quando facciamo una dimostrazione, non è sulla figura che dobbiamo basarci ma sui postulati o sui teoremi già dimostrati.

Al tempo di Euclide, i risultati sulla continuità rappresentavano la frontiera della ricerca.  Archimede di Siracusa, il grande matematico poco posteriore ad Euclide (di Euclide non abbiamo notizie storiche, mentre Archimede ha svolto un ruolo di primo piano nella guerra tra Siracusa e Roma, nel bel mezzo della seconda guerra punica) sviluppò la teoria delle proporzioni di Euclide arrivando a formulare, seppur in termini geometrici, il concetto di limite.

Nel corso del 1800 la matematica moderna ha recuperato queste idee e le ha tradotte in termini algebrici; uno dei principali artefici di questo lavoro fu Richard Dedekind nel 1872.  Quando Hilbert, nel 1899, propose i suoi postulati, ricalcò da vicino i postulati dell'aritmetica recentemente introdotti da Dedekind.  

Partiamo dal problema pratico: come facciamo a costruire con riga e compasso un triangolo equilatero che abbia un lato AB assegnato?

La costruzione è tra le più semplici, e probabilmente l'hai già vista durante la scuola media.  

Si centra il compasso in un estremo A del segmento, si apre il compasso fino al secondo estremo B del segmento e si traccia una prima circonferenza.  Si ripete l'operazione scambiando il ruolo dei due estremi, ottenendo una seconda circonferenza.

Gli estremi A e B del segmento e uno dei due punti di intersezione tra le circonferenze (che indichiamo con C) sono i vertici di un triangolo equilatero che ha come lato il segmento AB assegnato.

Ora si tratta di dimostrare che tutta la costruzione si può sempre fare e che il triangolo che abbiamo costruito è equilatero.

1. Cosa assicura di poter centrare il compasso in A e aprirlo fino a B?

2. Cosa assicura di poter centrare il compasso su B e aprirlo fino ad A?

3. Cosa assicura l'esistenza del punto di intersezione C tra le due circonferenze?

4. Cosa ci assicura di poter costruire i segmenti AC e BC?

5. Perché il triangolo che abbiamo costruito è equilatero?

Abbiamo dimostrato il

Vista la dimenticanza di Euclide, bisogna aggiungere un postulato extra che assicuri l'esistenza del punto C.  Il seguente enunciato corrisponde alle assunzioni implicite fatte da Euclide nel suo trattato.  

Un'analisi più attenta mostrerebbe che le due affermazioni non sono indipendenti e possono essere fatte discendere da richieste meno forti.  Qui non lo faremo, perché sarebbe necessario stravolgere l'ordine logico della presentazione di Euclide.