Teorema 13

Se una semiretta ha origine su una retta (su cui non giace), essa forma con essa due angoli complessivamente pari a due angoli retti (un angolo piatto)

La dimostrazione è molto semplice: se i due angoli sono uguali, allora per la definizione 10 sono retti; altrimenti, chiamiamo "CBA" l'angolo minore e "ABD " l'angolo maggiore; costruiamo la retta BE perpendicolare alla retta data che passa per il vertice (teorema 11).

Consideriamo l'angolo AEB , che sommato a CBA dà l'angolo retto CBE e sommato all'angolo retto EBD dà ABD :

retto + retto = EBD + CBE = EBD + (AEB+CBA) = (EBD+AEB) + CBA = ABD + CBA

Come abbiamo già detto, Euclide non considera angoli gli angoli piatti o maggiori. Dunque il ruolo di angolo di riferimento, che noi moderni assegniamo agli angoli giri o agli angoli piatti, è preso dagli angoli retti. Di qui l'interesse di questo teorema, che fornisce un surrogato dell'angolo piatto.

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