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Presso gli egizi, la matematica era concepita come una serie di regole calate dall'alto. In buona parte, la matematica ti è stata insegnata seguendo questo schema: il professore dice e l'allievo impara.
Difficilmente però, questo tipo di approccio ci lascia del tutto soddisfatti. Per sentire di aver capito veramente un dato argomento, abbiamo bisogno di una qualche spiegazione, che chiarisca da dove viene una data formula o strategia.
Questo atteggiamento fu portato agli estremi nella Grecia classica: i matematici greci iniziarono a porsi il problema di giustificare le proprie conclusioni, di rendere evidente all'interlocutore qualcosa che inizialmente non lo era.
Presto i matematici si resero conto che il concetto di "evidente" è troppo fumoso. Spesso gli occhi ingannano. Ma anche i ragionamenti possono ingannare se non poggiano su basi solide.
Esempio: L'area di un triangolo
Esempio: L'area di un triangolo
Come dice il nome, la geometria nasce per misurare la Terra. Tradizionalmente, per misurare l'area dei terreni restituiti dal Nilo dopo ogni piena.
Per misurare l'area di un terreno triangolare, possiamo usare la famosa formula (base x altezza)/2. Questa formula funziona egregiamente con gli appezzamenti degli agricoltori egizi, ma possiamo applicarla sempre?
Se ingrandiamo il triangolo, ci accorgiamo che il modello di geometria che abbiamo studiato non descrive affatto bene triangoli tra punti della superficie terrestre, se questi sono troppo distanti tra di loro.
Prendiamo ad es. il triangolo che ha come vertici il Polo Nord e le città di Quito (0°S 80°W) e di Libreville (0°N 10°E).
Posso fare due diversi ragionamenti:
Ragionamento 1
Ragionamento 1
Quito è sull'equatore, dista dal polo nord circa 10000 km. Anche Libreville è sull'equatore; la distanza tra le due città è un quarto dell'intero equatore, circa 10000 km.
Siccome per andare in linea retta da Quito al polo nord devo seguire un meridiano e siccome i meridiani formano angoli retti con l'equatore, il triangolo è rettangolo.
L'area è dunque
(10000 x 10000)/2 = 50 000 000 km²
Ragionamento 2
Ragionamento 2
Anche Libreville è sull'equatore, quindi la sua distanza dal polo nord è la medesima di Quito: 10000 km.
Dunque il triangolo è equilatero e posso calcolarne l'area come
√3 /4 x Lato² ≈ 43 000 000 km²
E' evidente che i due risultati non possono essere ambedue giusti. Infatti sono ambedue sbagliati. Nonostante la geometria piana sia nata proprio per misurare aree di terreni, non è un buon modello per il nostro triangolo.
La spiegazione è semplice (il triangolo non è piano) ma la morale di questa storia è che prima di trarre delle conclusioni, dobbiamo specificare bene a cosa ci stiamo riferendo. Solo in un secondo momento possiamo fare le nostre deduzioni. Senza fidarci dell'intuito, senza dare niente per scontato ma chiedendoci ad ogni passo: "perché questa cosa è vera?"
Se ti è rimasta la curiosità di sapere quanto è grande la superficie del nostro triangolo, ti basterà notare che corrisponde ad 1/8 del globo terrestre.
Ricordando che la superficie della sfera è 4π x raggio² e che il raggio della Terra è circa 6000 km, si ottiene un'area di circa 56 milioni di km².
Le dimostrazioni sono sequenze di ragionamenti inattaccabili che da una premessa portano ad una conclusione. Non ci si pone il problema di stabilire se la premessa sia vera, ma solo se, assumendola come vera, ha come conseguenza la conclusione.
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