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I matematici non capirono appieno la portata dei postulati di Euclide fino al 1800, quando Lobačevskij mostrò che è perfettamente possibile costruire delle geometrie in cui i postulati di Euclide non valgono.
Abbiamo già incontrato uno di questi casi: nella geometria della sfera, uno dei postulati di Euclide (quello delle parallele) non è valido e le figure geometriche che si possono costruire godono di proprietà diverse dalle figure piane.
Il risultato di Lobačevskij fu rivoluzionario e mise la parola fine ai numerosi tentativi di dimostrare il quinto postulato a partire dai primi quattro. Non solo mostrò che i postulati di Euclide sono indipendenti, ma soprattutto che la geometria euclidea è una scelta, non una verità di natura.
Mise in una nuova luce la logica delle teorie assiomatiche, permettendo in pochi anni di assiomatizzare l'aritmetica e l'algebra.
A fine secolo i matematici rimisero mano anche alla geometria, proponendo postulati nuovi, più rigorosi e più moderni, per la geometria di Euclide. Regole diverse per lo stesso modello.
Nonostante la superiorità dei nuovi postulati, il nostro punto di vista è che costituiscono una teoria troppo astratta per i fini didattici che ci proponiamo.
Viceversa la formulazione di Euclide, fortemente ancorata alla pratica del disegno con riga e compasso, è didatticamente molto efficace, come testimoniato da 2200 anni di pratica.
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