Teorema 4 (postulato)

Ci sono molte ragioni per ritenere il teorema 4, altrimenti noto come primo criterio di uguaglianza dei triangoli (SAS criterium, in inglese), un'aggiunta posteriore ad Euclide.

La "dimostrazione" che ci è pervenuta è basata sull'idea di trasportare un triangolo sopra all'altro, cominciando dal primo lato, passando poi all'angolo per finire con il terzo lato.

Se la possibilità del trasporto dei segmenti è ampiamente discussa nel teorema 2½, lo stesso non si può dire del trasporto dell'angolo, che piove dall'alto come se nulla fosse.

Scrive Lucio Russo:

"La presunta dimostrazione usa considerazioni che prescindono completamente dai tre teoremi precedenti e dai postulati; usa solo le nozioni comuni 7 e 9 (che non sono usate altrove e che sono esse stesse più che sospette). Contraddice quindi l'essenza stessa del metodo euclideo, che consiste nel dedurre tutte le dimostrazioni, direttamente o indirettamente, dai postulati. Ciò basterebbe per considerarla spuria.

Ma c'è di più, la dimostrazione si basa essenzialmente sull'uso del 'trasporto rigido'. Si assume cioè che una figura geometrica possa essere trasportata in un altro luogo mantenendo tutte le sue proprietà, come se si trattasse di un corpo rigido. Si tratta di un'idea certamente estranea al pensiero di Euclide, non solo perché l'uso di tale trasporto non è regolato dai postulati, ma soprattutto perché se Euclide l'avesse considerato lecito non avrebbe certo incluso la complessa dimostrazione del teorema 2."

Definizione (uguaglianza tra poligoni): diciamo che due poligoni sono uguali se hanno i lati ordinatamente uguali e gli angoli compresi tra lati corrispondenti uguali.

Stiamo definendo una nuova relazione di equivalenza: l'uguaglianza tra poligoni. Per farlo ci basiamo su due diverse relazioni primitive:

l'uguaglianza tra segmenti consecutivi.
l'uguaglianza tra angoli.

La parola "ordinatamente" necessita di una spiegazione: scegliamo un lato di partenza e uno dei suoi estremi, poi il nuovo lato che parte da quell'estremo e così via. Non è necessario che il verso di percorrenza sia lo stesso per i due poligoni, ma il primo lato del primo poligono deve essere uguale al primo del secondo poligono e così via. Se anche gli angoli compresi tra lati corrispondenti sono uguali, allora diciamo che i poligoni sono uguali. In molti libri di geometria, per non lasciare dubbi sulla nozione di uguaglianza che stiamo usando, si usa la parola congruenti oppure la parola sovrapponibili.

Assumiamo quindi il seguente enunciato come postulato:

Postulato: primo criterio di uguaglianza dei triangoli

Se due triangoli hanno rispettivamente uguali due lati e l'angolo tra essi compreso, allora sono uguali

(cioè hanno tutti i lati e tutti gli angoli corrispondenti uguali).

Nella formulazione di Hilbert, questo criterio è un postulato, il sesto ed ultimo degli assiomi di congruenza. Hilbert usa la parola "congruente" invece di "uguale" per sottolineare il fatto che è dagli assiomi che deduciamo il significato della parola e non il viceversa: i 6 assiomi di congruenza chiariscono quale relazione di uguaglianza chiamiamo "congruenza dei segmenti", quale "congruenza degli angoli" e quale "congruenza dei poligoni".

La possibilità di costruire segmenti ed angoli congruenti ad uno dato, cioè l'esistenza e l'unicità di questi oggetti, è postulata negli assiomi IV.1 e IV.4, spesso chiamati assiomi di trasporto.

E' da notare come l'assioma di trasporto IV.1 di Hilbert si limiti a stabilire l'esistenza e l'unicità dei segmenti trasportati, senza fornire alcuna indicazione su come costruirli. Viceversa Euclide spiega nei teoremi 2 e 3 come costruire questi segmenti.

Per gli angoli, se assumiamo con Lucio Russo che l'enunciato del teorema 4 sia un postulato, sarà il terzo criterio di congruenza a fornirci la procedura per la costruzione dell'angolo trasportato.

E' possibile generalizzare il primo criterio di uguaglianza? In particolare è necessario che l'angolo di cui parliamo sia quello compreso tra i segmenti uguali?

Esercizio: Trova due triangoli ABC e A'B'C' che non siano uguali, ma per i quali AB = A'B', AC=A'C' e l'angolo ∠ABC in B sia uguale all'angolo ∠A'B'C' in B'

Vedi il foglio interattivo qui sotto.

Come vedi, in generale, esistono due triangoli con le caratteristiche richieste, uno uguale ad ABC ed uno no. Per distinguere tra i due, serve una informazione aggiuntiva. Ad esempio, se sappiamo che i triangoli sono acutangoli, ottusangoli oppure rettangoli, l'ambiguità scompare e le condizioni date assicurano l'uguaglianza.

Come vedremo nel seguito, la dimostrazione della proposizione 8 che ci è stata tramandata soffre degli stessi problemi di quella della proposizione 4: è basata su una nozione di trasporto rigido estranea alla struttura logica euclidea.

La proposizione 8, o 'terzo criterio di uguaglianza' stabilisce che due triangoli con lati a due a due uguali sono uguali e, in combinazione con il teorema 2½, è di fatto equivalente alla possibilità del trasporto rigido.

Non cambieremo qui l'ordine logico delle proposizioni di Euclide, ma val la pena di notare che dal terzo criterio di uguaglianza segue il primo.

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