Problema 9

Il problema 9 insegna a bisecare un angolo.

Dato un angolo ∠rAs con vertice A e delimitato dalle semirette r ed s uscenti da A,

• prendiamo un punto B≠A sulla semiretta r

• tracciamo la circonferenza con centro in A e raggio AB (postulato 3)

• chiamiamo C l'intersezione tra la circonferenza e la semiretta s (postulato di intersezione)

• costruiamo un triangolo equilatero BCD con lato BC (problema 1)

la semiretta t con origine in A e passante per D divide l'angolo dato in due angoli ∠rAt e ∠tAs uguali tra loro

Dimostrazione:

i triangoli ABD e ACD sono uguali in base al terzo criterio (proposizione 8), infatti:

• AD è in comune

• AB = AC perché raggi della stessa circonferenza (definizione 15), dunque il triangolo ABC è isoscele.

• BD = CD perché lati di un triangolo equilatero

Dunque gli angoli ∠CAD e ∠BAD sono uguali, perché angoli corrispondenti di triangoli uguali.

Ad essere rigorosi, bisogna discutere il caso D=A, ma è un caso che si può sempre evitare perché i triangoli equilateri costruibili si BC sono due.