Definizioni e Assiomi per cominciare

Il segmento è ciò che possiamo disegnare con una riga, la circonferenza è ciò che possiamo disegnare con il compasso. In qualche senso, sono i mattoni su cui Euclide costruisce la geometria. Come già anticipato nel capitolo precedente, non c'è bisogno di definire il segmento in quanto ente primitivo. Per quanto riguarda la circonferenza, Euclide ha dato una definizione in termini di luogo dei punti equidistanti dal centro, considerando l'uguaglianza tra segmenti una nozione primitiva:

Per definire la circonferenza abbiamo utilizzato l’ente primitivo detto segmento, e la nozione primitiva di uguaglianza tra segmenti consecutivi.

Euclide non chiede esplicitamente l'unicità del segmento, né quella della circonferenza.

La geometria di Euclide è un’idealizzazione: è evidente che nessuna delle due condizioni è realizzabile in pratica. Ma Euclide considera questa impossibilità come dettata solo da limitazioni pratiche e immagina una geometria in cui sia possibile disegnare segmenti e circonferenze arbitrariamente grandi o arbitrariamente piccoli.

I mattoni su cui si basa la teoria di Euclide sono gli enti fondamentali punto, segmento (retta) e piano, ma anche alcune relazioni fondamentali, che non vengono enunciate esplicitamente.

Provvediamo noi:

Questa nozione permette di definire la circonferenza, ma non di confrontare la lunghezza di segmenti che non siano consecutivi.

A questo provvederanno i teoremi 2 e 3.

Possiamo quindi dire se due segmenti sono "uguali" (intendendo che hanno la stessa lunghezza) ma soltanto se escono da uno stesso estremo.

Perché questa nozione di uguaglianza è limitata solo ad alcune coppie di segmenti?

La risposta è che questo basta. Se sappiamo confrontare segmenti consecutivi, allora, con un po' di fatica, possiamo confrontarli tutti. Euclide ha ben chiaro che gli assiomi devono essere indipendenti l'uno dall'altro e che quindi ogni assioma deve essere il meno forte possibile. Se l'uguaglianza tra segmenti qualunque può essere dedotta da una relazione più limitata, vuol dire che non è fondamentale.

Possiamo discutere questo fatto anche dal punto di vista pratico:

Nella seconda procedura, c'è in più il trasporto del compasso. Euclide non ha nessuna necessità di considerare questa operazione come fondamentale. Nella dimostrazione del teorema 2 ci insegnerà una costruzione che permette di compiere questa operazione.