Teoremi 2 e 3

Problema 2:

Dati un segmento AB ed un punto C, costruire un segmento CF (con estremo in C) uguale ad AB.

La seconda costruzione insegna a trasportare un segmento su una semiretta data.

A differenza della prima costruzione, qui serve un po' di ingegno.

Euclidea ζ.5 Prova a superare il livello usando solo gli strumenti Circle e Line.

E' interessante notare che l'operazione di riportare una distanza può essere realizzata con il compasso senza il bisogno di nessuna costruzione. Addirittura possiamo presumere che il compasso venisse utilizzato originariamente soprattutto per questa funzione; anche in età moderna, molti compassi non sono pensati per scrivere ma per misurare.

Questo ci fa capire quanto la matematica di Euclide si fosse già discostata dai problemi tecnici che ne erano all'origine: l'oggetto fondamentale non è un compasso, ma una circonferenza, ed è e questa che devono far riferimento le dimostrazioni.

Nozioni comuni 2 e 3

Se a cose uguali si aggiungono (oppure tolgono) cose uguali, le restanti sono uguali.

Se a=b e c=d, allora a±c = b±d.

Venendo alla costruzione, dobbiamo usare i pochi strumenti che abbiamo:

sappiamo

che i raggi delle circonferenze sono tutti uguali (definizione 15) e
che sottraendo cose uguali a cose uguali si ottengono cose uguali. In linguaggio algebrico, se a=b e c=d, allora a-c = b-d (terza nozione comune).

Per prima cosa, individuiamo il punto D che forma con A e C un triangolo equilatero, come abbiamo imparato nel teorema 1.

Prolunghiamo i segmenti DA e DC (postulato 2) ottenendo le rette omonime.

Tracciamo la circonferenza di centro A e raggio AB (postulato 3).

Chiamiamo E un punto di intersezione tra questa circonferenza e la retta DA (postulato di intersezione).

Tracciamo la circonferenza di centro D e raggio DE (postulato 3).

Chiamiamo F il punto di intersezione tra questa circonferenza e la retta DC (postulato di intersezione).

Il segmento CF (postulato 1) è il segmento cercato.

Teorema 2

nella costruzione sopra, CF = AB.

Perché il segmento CF è uguale al segmento AB?

Essendo ACD equilatero, DA = DC (l'esistenza di D è garantita dal teorema 1).

Siccome AB e AE sono raggi della stessa circonferenza, AB=AE (definizione 15).

Siccome DE e DF sono raggi della stessa circonferenza, DE=DF (definizione 15).

Per la terza nozione comune DE-DA=DF-DC.

Mettendo tutto insieme, AB=AE=DE-DA=DF-DC=CF.

Il teorema 2 ha delle interessanti generalizzazioni: invece di costruire un qualsiasi segmento con estremo in C e uguale ad AB, si può costruirne uno che giace su una semiretta data, oppure su un qualsiasi segmento CD maggiore di AB.

La seguente generalizzazione del teorema 2 (dimostrata da Euclide nel corso della dimostrazione del teorema 3), verrà usata spesso nel futuro.

Problema 2½ 'del trasporto dei segmenti':

Dati due segmenti AB e CD, costruire sul maggiore un segmento uguale al minore facendone coincidere uno degli estremi a scelta.

Assumiamo, senza perdita di generalità, che CD sia il segmento maggiore.

Costruisco un qualsiasi segmento CF uguale ad AB, come insegna il teorema 2.

Poi costruisco la circonferenza di centro C e raggio CF (postulato 3).

Chiamo E l'intersezione tra questa circonferenza e la semiretta CD (postulato di intersezione). CD e CE giacciono sulla stessa semiretta; quando Euclide dice che CD è maggiore di CE, intende che tutti i punti di CE sono anche punti di CD; in particolare il punto E: CD = CE+ED.

Perché CE=AD?

AB = CF per costruzione (teorema 2)

CF = CE perché raggi della stessa circonferenza (definizione 15)

Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza (prima nozione comune), AB = CE

Nella formulazione di Hilbert, il teorema 2½ è un postulato, spesso chiamato "postulato del trasporto dei segmenti".

Euclide, al prezzo di qualche imprecisione sulle condizioni di esistenza delle intersezioni tra rette e circonferenze, risolve il problema del trasporto in maniera costruttiva: per mostrare che il segmento richiesto esiste, ti insegno a costruirlo.

Problema 3:

Dati due segmenti AB e CD, togliere al maggiore un segmento uguale al minore.

Possiamo togliere CE (che è uguale ad AB per costruzione) a CD:

ED = CD-CE è il segmento cercato.

Page updated

Report abuse