Forløb 4-3

Eksponentielle funktioner

Moduler i forløbet - Eksponentielle funktioner (nyeste øverst)

Hvorfor er dette modul vigtigt?

Virkelighedsnære spørgsmål

Hvad gør jeg, hvis jeg vil blive bedre til emner i dette forløb?

Modul 1: Eksponentiel funktion - Introduktion, forskrift, graf

Modul 2-1-5: Halvering og fordoblingskonstant

Modul 2-1-6: Halvering og fordoblingskonstant. Kendskab til eksponentiel funktion

Opgaver i eksponentielle funktioner: Yourskills Træning

Modul 2-1-7: Kendskab til eksponentielle funktioner (opsamling)

Moduler i forløbet - Eksponentielle funktioner (nyeste øverst)

Hvorfor er dette modul vigtigt?

Spørgsmål, som du kan svare på efter dette forløb:

Man kan fx stille spørgsmål om penge, befolkning, biologi, fysik og hverdagssituationer, hvor noget vokser eller aftager med en fast procent pr. tidsenhed, og dermed modelleres med en eksponentiel funktion.

Virkelighedsnære spørgsmål

En by har 25 000 indbyggere i dag og vokser med 2,1% om året. Hvor mange indbyggere forventes der om 10 år, hvis udviklingen er eksponentiel?
En kaffe er 90 °C varm, når den hældes op, og køles sådan, at temperaturen falder med 12% hvert 5. minut. Hvilken eksponentiel model kan beskrive temperaturen som funktion af tiden, og hvor varm er kaffen efter 20 minutter?
En bestemt bakteriekultur fordobler sin masse hver 6. time. Skriv en eksponentiel model for bakteriemængden, og bestem hvor mange gange større kulturen er efter 2 døgn i forhold til udgangspunktet.
Salget af en ny app stiger med 18% pr. måned de første år. I dag er der 50 000 aktive brugere. Hvor mange brugere forventes der om 8 måneder, hvis udviklingen er eksponentiel?
Værdien af en bil falder med 16% om året. Bilen koster 320 000 kr. som ny. Opskriv en eksponentiel model for bilens værdi, og bestem værdien efter 5 år.
Mængden af et lægemiddel i blodet falder med 35% pr. time. Startmængden er 120 mg. Hvor lang tid går der, før mængden er under 20 mg, hvis udviklingen beskrives ved en eksponentiel funktion?
En skole arbejder med CO₂‑udledning og får reduceret sin udledning med 7% om året via forskellige tiltag. Hvis den nuværende udledning er 40 ton om året, hvor stor er den så om 12 år ved eksponentiel udvikling?
En hjemmeside oplever, at antallet af daglige besøg vokser med 9% om ugen. I uge 0 er der 1 200 besøg om dagen. Efter hvor mange uger vil antallet af daglige besøg være mere end fordoblet, hvis udviklingen er eksponentiel?

Prompt: Opstil 10 virkelighedsnære spørgsmål, som man vil kunne svare på i matematik, når man kender kapitalfremskrivningsformlen og regneregler for procentregning

Prisen på æg er faldet med 400 procent siger Trump.mp4

Hvad gør jeg, hvis jeg vil blive bedre til emner i dette forløb?

Se videoer

1. 1. 1. 1. Se playlisten (hop over videoer med beviser)

Øv dig i opgaver

YOURSKILLS

På Abacus vælg træn selv opgaver

Modul 1: Eksponentiel funktion - Introduktion, forskrift, graf

Lektie til modulet:

Se introduktion til eksponentiel funktion (3:00)

Aktiviteter i modulet

Startopgaver 15 minutter (igen):

Gå til side 11 i dette dokument. Kopier promt 9 og sæt den ind i duck.ai eller mistral.ai

Klavs minder lige om "klasseregler"

Gældende for alle moduler i år:

Du er en del af et læringsfællesskab

1. Vær parat
  1. Medbring selv: TERNET papir, kuglepen/blyant, opladt computer.
  2. Formelsamling B

1. Vær en god kammerat. Timerne er til fordybelse.
  1. Timerne er ikke til toiletbesøg, at hente vand eller at snakke
  2. Elektronik: Mobiltelefoner i skab. Hvis du anvender din modil eller computer til ikke-faglige aktiviteter, vil Klavs bede dig forlade klasserummet.
  3. Larm går ud over andre

1. Hjælp dig selv
  1. Noter: Matematiknoter tages kun på papir ikke på computer.
  2. Kom til tiden og aflever til tiden (peerfeedback)
  3. Fravær? Skriv til mig på Lectio.

Hvad vil du helt have:

1 øre i morgen og fordoblet i 25 dage?
1 mio kr om 25 dage?

Eksponentiel funktion - Introduktion

Klavs forklarer eksemplet nedenfor

En eksponentiel vækst er en egenskab for en afhængig variabel, der stiger eller falder med en bestem procent for hver gang den uadhængige variabel stiger med 1.

DEMO: Lad os lige se på et eksempel på eksponentiel udvikling Radioaktivt henfald

Opgave 1: (se billedet nedenfor)
1. Bestem afhængig værdi af en eksponentialfunktion

Formelsamlingen

Forskrift for eksponentiel funktion

Eksponentiel funktion

1. 1. Klavs viser formlen for eksponentiel funktion.

1000 kroner vokser med 5% i rente hver termin

f(x) = b*(1+r)x med eksemplet: f(x) = 1000*(1+0,05)x . f(1), f(2), f(3), graf

f(0) = 1000*(1+0,05)⁰ = 1000 * 1 = 1000

f(1) = 1000*(1+0,05)¹ = 1000 * 1,05¹ = 1050

f(2) = 1000*(1+0,05)² = 1000 * 1,05* 1,05

f(3) = 1000*(1+0,05)³ = 1000 * 1,05* 1,05* 1,05

f(4) = 1000*(1+0,05)⁴ = 1000 * 1,05* 1,05* 1,05* 1,05

------ for hver gang x vokser med 1 vokser y med 1,05 gange - altså med 5%

VIGTIGT: Hvis funktionen falder med 5% for hver gang x vokser med 1 aftager y med 1-0,05 = 0,95 gange - altså med -5%

1. 1. Skriveformer:

f(x) = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x

Navne: r = relative vækst (vækstprocenten skrevet som kommatal)

b = begyndelsesværdien

(svarende til x=0) - kan også betegnes begyndelseskapitalen K0 (stort K0)

a = r+1 = fremskrivningsfaktoren (det man ganger med for at komme til næste y-værdi når x vokser med 1, kaldes også grundtallet. Nogle gange benytter men F for fremskrivningsfaktor.

k - (lille k) ikke noget navn

f(x) er funktionværdien - kan også betegnes som Kapitalens værdi Kn efter n

terminer

Graf for eksponentiel funktion

Vigtige regler om eksponentielle funktioner?

- - Grafen er voksende når a > 1 eller r > 0 eller k > 0
  - Grafen er aftagende når 0 < a < 1 eller -1 < r < 0 eller k < 0
  - Ingen nulpunkter - graf kun i 1. og 2. kvadrant.

Nyt:

1. 1. Betingelser:

a > 0 og a ≠ 1,

b > 0,

r > -1 og r ≠ 0

Forskrift ud fra to punkter på grafen

Formelsamling (bestemmelse af a og b i forskiften)

Se video om at finde a og b ud fra punkter (5:00)

Opgaver (se billedet for løsning)

Bestem b i eksponentiellefunktioner ud fra a og et punkt

Bestem b ud fra 1 kendt punkt og fremskrivningsfaktoren (formler)

Opgaver (se billedet for løsning)

Bestem a ud fra to punkter for eksponentielle funktioner

Bestem a ud fra 2 kendte punkter (eksempel)

OPGAVE

Benyt eksponentiel regression til at finde a og b i disse opgaver

1. Bestem a ud fra to punkter for eksponentielle funktioner

(samme som I løst før med formlen for a)

Fremskrivningsfaktor og vækstrate

Opgaver:

1. Eksponentiel funktion Bestem fremskrivningsfaktor ud fra vækst i procent

1. Betydningen af fremskrivningsfaktoren

Fordobling og halvering

Klavs gennemgår fordoblingskonstant og halveringskonstant formler 105 og 112

Opgaver:

Aflæs fordoblings- eller halveringskonstant (3 min) eller denne "papirudgave"
Udfyld tabel opgave med fordopling/halvering
Beregning af fordoblings- og halveringskonstant (7 min) eller denne "papirudgave"
Bestem fordoblings- eller halveringstiden ud fra procentændring (5 min)

Eksponentiel vækst

Opgave: Opstil en eksponentiel model og beregn (facit på sidste side)
1. 1. Vi gennemgår et par opgaver ved frivillige

Eksponentiel regression

Enkeltlogaritmisk koordinatsystem og eksponentiel regression

Fordoblingskonstant

Halveringskonstant

Modul 2-1-5: Halvering og fordoblingskonstant

Lektie til modulet:

Aktiviteter i modulet

1p: 12/12

1q: 15/12

Grublespørgsmål

1. 3 tilfældige
2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med
3. 10 minutter i alt
4. Spørgsmål
  1. 1. Udledningen af CO2 i verden var i 1958 315 megamange tons
    2. Udledningen af CO2 i verden var i 2020 422 megamange tons
    3. Hvor stor har den årlige procentvise vækst været i perioden?

Makkerpar

Er du matematik-klar?

Eksponentiel funktion

1. 1. Skriveformer:

f(x) = b * ( 1 + r )x

= b * ax

= b * ekx

= K0 * ( 1 + r )x

Modul 2-1-6: Halvering og fordoblingskonstant. Kendskab til eksponentiel funktion

Lektie til modulet:

Aktiviteter i modulet

1p: 18/12

1q: ?/12

Ibrahim og Rosa - prøve

Grublespørgsmål

1. 3 tilfældige
2. Øverste tager en tusch og finder en tavle - de to øvrige følger med
3. 10 minutter i alt
4. Spørgsmål til højre

Makkerpar

Opgave om grafer for eksponentielle funktioner. (10 minutter)
1. 1. 1. OPGAVE og når I har løsninger SVAR HER
    2. Kræver kendskab til ln(x) og globalt minimum

Repetetionsvideo (8 min)

Opstilling af model

Lad os lige se på et eksempel på eksponentiel udvikling Radioaktivt henfald

Opgaver:

Fordobling- eller halveringskonstanten for befolkningsvækst (5 min)

Par (20 minutter): Lav opgaver her
1. Svar på de to spørgsmål (nedenfor) ikke på selve opgaven i opgaveteksten
  1. Find forskriften for funktionen ved at benytte de to punkter. Benyt forskellige metoder (formler, regression)
  2. Find
    1. 1. stigningsfaktoren
      2. den relative vækst
      3. grundtallet
      4. den procentvise vækst
      5. fremskrivningsfaktoren
      6. vækstraten
      7. begyndelsesværdien

Formelsamlings-escaperoom. (1q lavet, men ingen vinder)

Fortsæt evt. til Yourskills modul

Tænkeopgaven

Fordoblingskonstant

Halveringskonstant

Opgaver i eksponentielle funktioner: Yourskills Træning

Lektie til modulet:

Aktiviteter i modulet

Opgaver

Alt på siden under denne overskrift er ikke opdateret

Modul 2-1-7: Kendskab til eksponentielle funktioner (opsamling)

Lektie til modulet:

Aktiviteter i modulet

Opgave om fremskrivning af antal flygtninge fra 2014 og frem
1. Se videoen frem til 8:50.
  1. 1. Opstil selv en model ved at anvende eksponentiel regression ud fra data fra filmen for 2011, 2012 og 2013 og lav fremskrivningen til 2020, 2024 og 2050. Sammenlign med påstandene i videoen.
    2. Hvordan vurderer du din egen models rækkevidde?

Opgave om opslag fra Facebook Hold på 3 (20 min)

Læs opslaget og besvar følgende:
- - Er det korrekt, at 2% af BNP på 2784 mia kr. i 2022 svarer til 56 mia?
  - Er det korrekt, at dette er cirka 19 mia mere end de 37,7 mia kr. som Danmark brugte i 2022 på forsvaret?
  - Er det korrekt, at hvis de 37,7 mia som anvendes i 2022 på forsvaret fremskrives med en årlig vækst på 1,81% frem til 2030 så stiger dette beløb til 43,5 mia?
  - Er det korrekt, at hvis de 37,7 mia som anvendes i 2022 på forsvaret fremskrives med en årlig vækst på 1,81% frem til 2040 så stiger dette beløb til 78 mia?
  - Er det korrekt, at hvis de 37,7 mia som anvendes i 2022 på forsvaret fremskrives med en årlig vækst på 1,81% frem til 2040 så stiger dette beløb til 94 mia?