03. La Terra: dimensioni, forma, massa

Dimensioni e forma della Terra

La misura di Eratostene

Cominciamo con un esercizio:

Eratostene osservò che durante il solstizio di estate il Sole era allo zenit sopra Siene (l'odierna Assuan), nel sud dell'Egitto. Un anno dopo, ad Alessandria, osservò che il Sole si trovava all'incirca 7°12' dallo zenit. Avendo misurato la distanza tra le due città, ottenne una stima molto buona della circonferenza terrestre.

Assumendo che il Sole fosse esattamente 7°12' dallo zenit ad Alessandria, e sapendo che la distanza tra le due città è di 778,36 km, calcolare la circonferenza L della Terra. Una volta nota la circonferenza, calcolare il raggio terrestre.

Quali ipotesi sono necessarie per effettuare il calcolo? 

Quali di queste ipotesi erano corrette nel caso di Eratostene?

E' possibile calcolare la latitudine di Siene e di Alessandria? Come?

Suggerire due città italiane nelle quali ripetere l'esperimento di Eratostene, indicando i criteri di scelta.

(scarica esercizio.pdf)

Come ci riuscì davvero Eratostene?

E’ mezzogiorno del solstizio d’estate. Vi trovate ad Alessandria d’Egitto e osservate l’ombra di un'asta fissa nel terreno. C’è una piccola ombra perché il Sole dista dallo zenit solamente 7°12' gradi.

Nello stesso istante più a sud, nella città di Siene – l’attuale Assuan – un altro osservatore vede il Sole riflettersi sull’acqua in fondo ad un pozzo.

E’ sufficiente allora conoscere la distanza tra Alessandria e Siene, in miglia, in stadi (che Eratostene valutò essere 5000) o in chilometri, per poter impostare una semplice proporzione e calcolare così le dimensioni del meridiano terrestre, o se preferite, il raggio della Terra. Il conto porta a circa 250mila stadi, circa 44mila chilometri

Tutto molto semplice dunque. Eppure, se è tutto così elementare – persino banale – perché nessuno ha mai ripetuto la misura con questo metodo? Quali sono le ipotesi fatte (o sottintese) da Eratostene?

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Posidonio 

Il metodo di Eratostene fu contestato da Posidonio (135-51 a.C.), che utilizzò dati diversi (ma sostanzialmente lo stesso metodo). Divise 360° (la circonferenza della Terra) per 7,5° (l’altezza della stella Canopo, della costellazione della Carena, sull’orizzonte di Alessandria), ottenendo 48, che moltiplicò per la distanza tra Alessandria e Rodi (da cui la stella Canopo è vista sull’orizzonte), ottenendo 180 mila stadi, cioè il 72% del dato ottenuto da Eratostene che, come abbiamo visto, era invece di 250 mila. Quindi secondo Posidonio la circonferenza terrestre era di soli 32mila chilometri.

La misura di Posidonio sarà ripresa da Tolomeo e considerata esatta. E' a questo valore che farà riferimento Cristoforo Colombo nei suoi calcoli per raggiungere le Indie via mare. Secondo questa misura, la sua navigazione sarebbe stata inferiore di oltre 6000 chilometri rispetto al percorso reale lungo il 40° parallelo.

La misura di Al-Biruni

Al-Biruni (973-1048) migliorò l'approssimazione del calcolo del raggio terrestre in 6 339,6 chilometri, migliorando la misura compiuta da Eratostene di Cirene nel 230 a.C. 

La misura del grado di meridiano e le spedizioni francesi

Nei Principia matematica (1687) Newton osservò che se la Terra non ruotasse su se stessa sarebbe perfettamente sferica a causa dell’uguale gravità in ogni sua parte. A causa della sua rotazione essa assume invece la forma di un ellissoide di rotazione, con un semiasse più corto nella direzione dell'asse di rotazione. Newton cercò di calcolare l’appiattimento della Terra supponendola fluida e omogenea e utilizzando la sua teoria di attrazione universale, e calcolò un valore di 1/230.

Secondo questo modello di Terra appiattita, la lunghezza di un arco di meridiano pari a un grado ad alte latitudini doveva essere più grande di quella di un arco di meridiano di un grado vicino all'equatore.

Il disegno seguente mostra uno schema in cui lo schiacciamento ai poli è accentuato per vederne meglio gli effetti. Le normali all'ellisse non si incontrano nel centro della Terra; la lunghezza dell'arco dell'ellisse vicino ai poli è maggiore di quella dell'arco di ellisse vicino all'equatore.

Per verificare sperimentalmente il valore calcolato da Newton furono organizzate numerose spedizioni geodetiche. 

L’idea fu quella di utilizzare misure di triangolazione geodetica effettuate a diverse latitudini. Tali lavori di triangolazione vennero intrapresi in Francia a partire dal 1683 verso nord da J.-D. Cassini e verso sud da La Hire. Verso il 1701, J.-D. Cassini notò dalle sue osservazioni che la lunghezza di un arco di meridiano a distanza di un grado è più piccola nel nord della Francia che nel sud: la Terra sarebbe dunque allungata nel verso dell’asse di rotazione, anziché appiattita. Tra 1700 e il 1718 Cassini, Maraldi e La Hire prolungarono i lavori di triangolazione da Dunkerque a Collioure, ai piedi dei Pirenei. A partire dalle loro misure, che confermarono la diminuzione di lunghezza di un grado d’arco verso nord, Cassini confermò l’allungamento della Terra e s’oppose tenacemente alle idee dei teorici: aveva inizio la disputa sulla forma della Terra.

L’Académie de France decise di inviare, su ordine del re, due missioni geodetiche per misurare gli archi di meridiano a latitudini molto differenti, cosa che avrebbe dovuto facilitare il confronto: l’una nel 1735 in Perù (con  Bouguer e La Condamine) e l’altra nel 1736 in Lapponia (con Maupertuis e Clairaut) che durò ben sedici mesi. Nel 1737 lo studio delle misure geodetiche ottenute nella spedizione in Lapponia indicava chiaramente che la Terra era appiattita ai poli anziché allungata e l’appiattimento trovato, inteso come il rapporto tra la differenza tra i semiassi e il semiasse equatoriale, corrispondeva a 1/178. Era evidente che le misure del meridiano francese dovevano essere errate. La missione in Lapponia non chiuse però il dibattito ed i sostenitori dell’idea di una Terra allungata non vollero sentire ragioni. Nel 1740 Cassini de Thury e La Caille effettuarono una nuova misurazione del meridiano francese e confermarono che la lunghezza di un arco di meridiano aumentava spostandosi verso nord. I risultati riportati dalla spedizione in Perù, rientrata nel 1744, tolsero gli ultimi dubbi. Anche le misure geodetiche davano dunque ragione ai teorici: la Terra è appiattita.

(per i dettagli, si può leggere la "Storia della misurazione del grado di meridiano terrestre" di Maristella Galeazzi, qui)

Nell'immagine sotto, le "triangolazioni" necessarie per le misure geodetiche. Ecco come Bill Bryson racconta la spedizione sulle Ande di Bouguer e La Condamine nel suo libro "Breve storia di (quasi) tutto", libro divulgativo ricchissimo di "storie geologiche" .

"Scelsero le Ande perché, per determinare se veramente vi fosse una differenza nella sfericità era meglio effettuare le misurazioni all'equatore e poi perché pensavano che le montagne avrebbero consentito una buona visione panoramica. In realtà le montagne peruviane erano costantemente immerse nelle nuvole e i membri della spedizione furono spesso costretti ad aspettare settimane intere per poter godere di un'ora di visibilità nitida. Come se non bastasse, avevano scelto uno dei territori più difficili del pianeta. I peruviani lo definiscono muy accidentado e di sicuro non esagerano. I francesi dovettero scalare alcune delle cime più difficili al mondo (montagne che misero per così dire in ginocchio anche i loro muli), senza contare che per raggiungerle dovettero guadare fiumi impetuosi, aprirsi varchi nella giungla e attraversare chilometri di deserto roccioso, in quota, quasi del tutto inesplorato e lontano da ogni fonte di rifornimento. Bouguer e La Condamine, però, erano tipi davvero tenaci e si dedicarono all'impresa per nove anni e mezzo durissimi, scanditi da dolorose ustioni solari. Poco prima della conclusione della spedizione, giunse loro voce che un altro gruppo francese stava effettuando misurazioni analoghe nel nord della Scandinavia (affrontando anch'esso grandi difficoltà, dalle paludi fangose a pericolosi lastroni di ghiaccio) e aveva scoperto che vicino al Polo, un grado risultava in effetti più lungo, proprio come aveva assicurato Newton. La circonferenza della Terra, se misurata lungo l'equatore,risultava più lunga di 43 chilometri rispetto a quando era misurata passando da un polo all'altro.Bouguer e La Condamine avevano quindi lavorato quasi dieci anni non solo per trovare un risultato contrario alle loro tesi, ma per scoprire di non esserci nemmeno arrivati per primi. Con pochissimo entusiasmo, i due francesi portarono a termine i loro rilevamenti, confermando l'esattezza dei riscontri dei connazionali che li avevano preceduti. Poi, sempre senza rivolgersi la parola, ridiscesero verso la costa, si imbarcarono su navi separate, e se ne tornarono a casa. "

Misure geodetiche successive hanno portato alla determinazione sempre più precisa dell’indice di appiattimento terrestre e della lunghezza del meridiano terrestre, e i valori sono stati affinati con i dati delle sonde spaziali. Oggi, il meridiano "medio" è lungo 40.009,152 km, il semiasse maggiore 6.378,388 km e quello minore 6.356,912 km. Il valore di appiattimento ritenuto attualmente valido è 1/298,25.

Il geoide

In realtà, la superficie fisica della Terra è meglio rappresentata da un geoide, in cui in ogni punto la superficie terrestre è perpendicolare alla forza di gravità. Il geoide si definisce come la superficie equipotenziale passante per il livello medio del mare in un dato punto, in assenza di maree e correnti.

Il satellite GOCE  (Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer) dell'Agenzia Spaziale Europea ESA misura con precisione le differenze di gravità nei diversi punti del pianeta. Tali valori sono stati utilizzati per la ricostruzione del video qui sotto: in giallo e rosso sono rappresentati i punti a gravità maggiore della media, in blu quelli a gravità inferiore, ed insieme rappresentano il campo gravitazionale terrestre.

Nel video seguente la spiegazione a cura dell'ESA: https://www.youtube.com/watch?time_continue=60&v=55yjz_ntRSc

(a proposito di capacità di osservazione... quante mele sono presenti nel video?)

Latitudine e longitudine

Eratostene, oltre alla misura del raggio terrestre, nel suo libro in tre volumi, Geographika, mappò l'intero mondo allora conosciuto e introdusse il sistema di coordinate geografiche di paralleli e meridiani ancora in uso oggi. 

Ipparco era un astronomo greco del II secolo aC a cui si attribuisce la compilazione di un catalogo della posizione di almeno 850 stelle, una migliore misurazione dei moti e delle distanze del sole e della luna, e il miglioramento o l'invenzione di diversi strumenti astronomici. Ipparco applicò queste intuizioni celesti alla geografia di Eratostene, sostenendo che la latitudine poteva essere determinata accuratamente solo attraverso la misurazione della posizione delle stelle (e non dall'altezza del Sole) e proponendo che la longitudine poteva essere derivata dalle osservazioni simultanee di un'eclissi lunare. Unendo la vecchia scienza dell'astronomia con la nuova geografia, Ipparco aumentò notevolmente l'accuratezza nella misura della latitudine e della longitudine e aprì la strada alla navigazione.

La misura della latitudine

L'esperimento di Eratostene ci dà anche qualche indicazione su come si possa misurare la latitudine usando l'altezza del Sole 


In quale ora del giorno deve essere fatta la misura?

In quale/i giorno/i dell'anno è possibile fare una misura diretta della latitudine utilizzando l'altezza del Sole?

In quale/i giorno/i è possibile fare la stessa misura e utilizzare l'inclinazione dell'asse terrestre (che si suppone nota) per ottenere la latitudine?

Cosa è necessario fare in un giorno qualsiasi dell'anno per ottenere la latitudine misurando l'altezza del Sole a mezzogiorno?

Misura della latitudine utilizzando la Stella Polare.

Misurare l’altezza del Polo Nord Celeste (e quindi della Polare) è il metodo più semplice per misurare la latitudine. Poiché la Stella Polare indica la direzione del Nord celeste (= direzione dell'asse terrestre), la sua altezza sull'orizzonte ci dà direttamente il valore della latitudine a cui ci troviamo. 

Lat = φ

La stessa cosa può essere fatta misurando l’altezza di una stella nota (per esempio il Sole) e conoscendo la sua declinazione δ (vedi figura sopra):

Lat = 90° - a + δ

Applicazioni didattiche: possiamo misurare l'altezza di Polaris (e anche del Sole, ma senza guardarlo direttamente perché questo provoca danni irreparabili alla retina) con uno strumento artigianale

Costruire  il quadrante di altezza

 

Il problema della longitudine

"Questa volta perciò dovevo trovarmi un sistema affidabile per stabilire la mia posizione su Marte.Latitudine e longitudine. La chiave sta qui. La prima è facile. Gi antichi marinai terrestri ci erano arrivati subito. L'asse della Terra, inclinato di 23,5 gradi, punta su Polaris. Marte ha un'inclinazione di poco più di 25 gradi, di conseguenza punta su Deneb.

Fabbricare un sestante non è difficile. Servono un tubo attraverso cui guardare, un pezzo di spago, un peso e qualcosa su cui tracciare i gradi. Io ho confezionato il mio in meno di un'ora.

Tutte le notti esco con il mio sestante e traguardo Deneb. A pensarci è un po' stupido. Sono nella mia tuta spaziale su Marte e navigo con strumenti del XVI secolo. Eppure funzionano.

Per la longitudine il problema è diverso. Agli inizi, sulla Terra, per stabilire la longitudine era necessario conoscere con precisione l'ora, per confrontarla poi con la posizione del Sole nel cielo. La parte difficile era inventare un orologio che funzionasse su uno scafo galleggiante (sulle barche i pendoli non funzionano). Ci lavorarono tutte le migliori menti scientifiche dell'epoca.

Per fortuna io possiedo orologi accurati."

Titolo: L'uomo di Marte. (Da questo libro è stato tratto il film Sopravvissuto - The martian) 

Autore: Andy Weir. 

Editore: Newton Compton. 

Costo: € 4,90. 

Ogni marinaio un po' avveduto può misurare la latitudine dalla lunghezza del giorno, dall'altezza del Sole, dalle note stelle di riferimento sopra l'orizzonte. Cristoforo Colombo seguì una rotta quasi rettilinea attraverso l'Atlantico quando "salpò il parallelo" nel suo viaggio del 1492; e la tecnica l'avrebbe senza dubbio portato alle Indie se non si fossero messi di mezzo gli americani.La misura dei meridiani di longitudine, invece, è influenzata dall'ora. Per calcolare la longitudine in alto mare bisogna sapere non soltanto che ora è a bordo della nave in un dato momento ma anche che ora è, in quello stesso istante, nel porto di partenza o in un altro luogo di cui si conosca la longitudine. Le ore segnate dai due orologi rendono possibile al navigante la trasformazione della differenza oraria in distanza geografica. Poiché la Terra impiega ventiquattro ore per completare un'intera rotazione di trecentosessanta gradi, un'ora equivale ad un ventiquattresimo di giro, ovvero a quindici gradi. Quindi la differenza di un'ora tra la posizione della nave ed il punto di partenza indica un avanzamento di quindici gradi di longitudine verso oriente o occidente. Quando, in mare, il navigante regola l'orologio della sua nave sul mezzogiorno - il momento in cui il sole raggiunge il punto più alto nel cielo - e quindi consulta l'orologio del porto di partenza, sa che la discrepanza di un'ora si traduce in quindici gradi di longitudine. Quegli stessi quindici gradi corrispondono anche ad una certa distanza percorsa. All'equatore, dove la circonferenza della Terra è massima, quindici gradi vogliono dire mille miglia. A nord e a sud di tale linea, il valore di ciascun grado, misurato in miglia, diminuisce. Un grado di longitudine equivale a quattro minuti in tutto il mondo, ma in termini di distanza un grado si contrae dalle sessantotto miglia all'Equatore allo zero virtuale dei poli.

(...)

In assenza di un metodo pratico per determinare la longitudine, tutti i capitani dell'era delle grandi esplorazioni, che pure potevano disporre di carte nautiche e di bussole attendibili, si persero in mare. Da Vasco de Gama a Vasco Nuñez de Balboa, da Ferdinando Magellano a Sir Francis Drake - tutti, volenti o nolenti, arrivarono dove arrivarono per grazia di Dio o benevolenza della fortuna.

Titolo: Longitudine. 

Autore: Dava Sobel. 

Casa editrice: BUR. 

Costo: € 7,20. 

Nel 1726 Jonathan Swift fa includere a Gulliver, tra i vantaggi dell'immortalità, la soluzione dei seguenti problemi : "il moto perpetuo, la medicina universale e il problema delle longitudini”...

Il problema di determinare in modo affidabile la longitudine era talmente importante che il Governo Britannico istituì un premio di 20000 sterline per chi avesse trovato una soluzione (Longitude Prize), determinando la longitudine entro mezzo grado (due minuti).

La soluzione richiedeva di costruire orologi che resistessero alle oscillazioni di un viaggio per nave. Fu risolto solo nella seconda metà del '700, ad opera di John Harrison.

Da Wikipedia: Harrison n°4

"L'orologio era completamente diverso dagli altri, perché pesava “solo” 1,45 chilogrammi e aveva un diametro di 13 centimetri. L'H4 fu costruito in quattro anni, dal 1755 al 1759. (...) La “prova del fuoco” fu fatta nel 1761. L'H4 fu imbarcato su una nave diretta in Giamaica, che partì il 18 novembre e arrivò a destinazione il 19 gennaio. L'errore dell'H4 fu di solo cinque secondi sul tempo universale. Per quest'orologio lo Stato diede a Harrison 10.000 sterline, cioè la metà del premio pattuito. Come scusa lo Stato disse a John che avrebbe versato il resto della ricompensa solo se avesse costruito due orologi uguali all'H4.

(...)

John Harrison, ormai ultrasettantenne, cominciò a lavorare sull'H5, copia perfetta dell'H4. Nello stesso periodo John incaricò Larcum Kendall di costruire la seconda copia, che fu chiamata K1. Finito l'assemblaggio delle due copie, Harrison si rivolse di nuovo allo Stato per reclamare il resto del premio. Ma il comitato rifiutò di pagare Harrison perché la seconda copia dell'H4 non era stata assemblata da lui. Così nel 1772 Harrison (ormai settantanovenne) si rivolse a Re Giorgio III per avere giustizia. Il Re riconobbe che Harrison aveva ragione e si impegnò ad aiutarlo personalmente, ma alla fine l'orologiaio ottenne dal Parlamento inglese la somma di 8750 sterline che non erano l'ambito premio ma un dono "offerto con generosità" dal Parlamento a dispetto della Commissione per la Longitudine e in sua vece. Dopo quattro anni, John Harrison morì a Londra il 24 marzo 1776 senza avere mai la soddisfazione di essere premiato dalla Commissione per aver risolto il problema del calcolo della longitudine."

Sotto: Ritratto di John Harrison con l'orologio H4

   Ritratto di John Harrison (1693-1776)  di Thomas King, c1767.

La massa della Terra

Storicamente sono stati effettuati molti tentativi per misurare la massa o la densità della Terra. 

La deviazione del pendolo

Pierre Bouguer, durante la spedizione in Sud America, effettuò anche un'altra importante misura che avrebbe dovuto confermare la teoria newtoniana: l'esperimento di deviazione del pendolo. Misurarono la direzione di un pendolo (rispetto ad una decina di stelle fisse) in prossimità del vulcano Chimborazo e a ad oltre sei chilometri di distanza. La deviazione tra le due misure sarebbe stata una misura dell'attrazione gravitazionale esercitata dalla montagna.

Schema dell'esperimento effettuato; i moduli dei vettori non sono in scala

A causa del freddo estremo, del maltempo e a vari problemi con gli strumenti, gli scienziati osservarono una deviazione estremamente piccola. Bouguer suggerì che sarebbe stato meglio ripetere l'esperimento in condizioni meno estreme, magari in Francia o in Inghilterra.

Dopo una ricerca tra diverse montagne candidate, lo Schiehallion in Scozia venne considerato il luogo ideale, grazie al suo isolamento e alla forma molto simmetrica.

il matematico Charles Hutton (da non confondersi con James Hutton, geologo) fece i calcoli basandosi sulle misure prese dall'Astronomo Reale Nevil Maskelyne. Durante i complessi calcoli fatti per valutare la massa del rilievo, Charles Hutton utilizzò per la prima volta le isoipse, invenzione per la quale gli sono debitori geografi, cartografi, geologi e semplici escursionisti.

 

Scriveva Maskelyne: "…the mean density of the earth is at least double of that at the surface … the great density of the internal parts of the earth, is totally contrary to the hypothesis of some naturalists, who suppose the earth to be only a great hollow shell of matter; supporting itself from the property of an arch, with an immense vacuity in the midst of it.”

L'esperimento di Cavendish

Una risposta più precisa alla domanda di quale fosse la massa della Terra si ebbe quando fu possibile misurare la costante di gravitazione universale G. Stranamente, l'autore della misura non la incluse esplicitamente nel lavoro pubblicato, ma riportò i suoi dati come misura della densità della Terra.

Nel 1798 il fisico inglese Henry Cavendish (1731-1810) calcolò la densità della Terra. Ottenne un risultato abbastanza vicino al risultato accettato oggi (una densità relativa di 5.48 rispetto a 5.518). Contrariamente a quanto si legge sui libri di scuola, l'apparato di Cavendish per questa delicata misura fu in realtà progettato dal geologo Rev. John Michell, noto anche come il "padre della sismologia". Cinque anni dopo la morte di Mitchell, Cavendish ricostruì uno strumento più piccolo dell'originale. Usando due sfere di piombo fisse, appese ad una barra metallica, misurò la torsione di un filo di argento quando alle sfere si avvicinavano masse di metallo. 

L'esperimento in realtà permette di misurare la forza di attrazione gravitazionale tra due masse note, ad una distanza nota, e quindi ricavare il valore di G, costante di gravitazione universale.

Dalla misura di G è poi possibile calcolare la massa della Terra e infine la sua densità, noto il volume.

Laboratorio: Stellarium

Il tempo della Terra