Flujo_Canales

Carga Específica

Considerando la ec. de Bernoulli en dos secciones de un flujo, sin fricción y uniforme, en un canal con respecto a la figura la carga total es,

Siendo

la carga hidráulica, suma de la elevación respecto al nivel de referencia y de la carga de presión, se considera ésta última sobre el fondo del canal, la cual representa entonces el tirante de agua

donde el área de sección se puede expresar como una función del tirante

. Denominando la elevación del fondo respecto al nivel de referencia, la ec. de Bernoulli se puede escribir como:

Esta ecuación es aplicable a cualquier transición en un canal para flujo en estado permanente, donde las secciones transversales están prescritas. Por ejemplo en la siguiente figura se considera una reducción en el ancho del canal (vista de planta), y una elevación del fondo de magnitud

(vista de perfil o elevación). Evidentemente, en la transición el flujo no se podrá considerar uniforme, debido a la curvatura en las líneas de corriente; pero en secciones antes y después de la transición el flujo es sensiblemente uniforme.

Si se conocen los tirantes antes y después de la transición el gasto se calcula directamente. Si sólo se conoce el gasto y el tirante inicial o bien final, entonces se deberá resolver una ecuación cúbica.

Para una geometría prescrita, los cambios en el tirante en una transición se aprecian con mayor facilidad si se considera una nueva variable llamada la Carga Específica, la cual representa el nivel de la carga total respecto al nivel del fondo del canal, esto es (ver fig. 63):

Entonces,

Para facilitar la discusión se considera que la sección del canal es rectangular de ancho

, i.e. ; y el gasto por unidad de ancho es entonces,

y la expresión anterior queda,

Es importante notar que si bien la carga total

permanece constante (en un flujo sin fricción), la carga específica sí puede variar si hay un cambio en la elevación del fondo del canal

habrá variaciones en el tirante . La ecuación también será útil para determinar para una carga específica constante, las variaciónes de gasto en una transición como una compuerta con diferentes grados de apertura.

En un gráfico de tirante vs carga específica la ec. anterior muestra que

es la suma de la ec du una recta con pendiente de 45° y de una hipérbola; lo cual queda representada en la siguiente figura.

Nótese que para una carga específica determinada existen dos tirantes posibles (alternos), y que existe un valor mínimo de la carga específica

, que corresponde a un tirante llamado crítico , por debajo del cual el flujo no es factible. Se aprecia también que si el tirante es mayor que el crítico, entonces la carga de velocidad es menor que el tirante; mientras que si el tirante es menor que el crítico, ocurre lo opuesto i.e. la carga de velocidad es mayor que el tirante. También es notable que en el primer caso si

disminuye entre dos secciones, también disminuye el tirante; mientras que en el segundo caso el tirante aumenta.

En la siguiente figura se ilustra cómo al incrementarse el escalón de la transición

, el tirante aguas abajo se aproxima al valor crítico

, que corresponde al valor mínimo de la carga específica. Cualquier incremento adicional del escalón conlleva un "bloqueo" del flujo que se propaga aguas arriba hasta que se establecen condiciones de tirante mayor para que la nueva y mayor carga total restablezca el flujo.

El valor del tirante crítico se determina derivando la ec. previa respecto a

e igualando a cero,

de donde,

donde la velocidad crítica correspode al tirante crítico,

De manera alterna, si en la ec. de la Carga Específica se considera dicha carga constante, se puede despejar el gasto, el cual podrá variara de acuerdo con la siguiente figura.

En este caso se aprecia que el tirante crítico corresponde al gasto máximo. De igual manera, derivando e igualando a cero se determina dicho tirante crítico,

de donde,

Para ilustrar la aplicación de este último concepto, considere una compuerta vertical sobre un

vertedor de cresta ancha en diversas situaciones de apertura de la misma, como lo ilustra la siguiente figura:

Al estar cerrada la compuerta los gastos "alternos" son cero como solución a la ec. anterior. Cuando está parcialmente abierta, aguas arriba y abajo de la compuerta se tienen los tirantes alternos ilustrados. A medida aque se abre más la compuerta el nivel del lado izquierdo disminuye mientras que del lado derecho aumenta hasta ambos llegar al máximo prescirto por la carga total del flujo con el correspondiente tirante crítico

. Cabe hacer notar que una apertura mayor de la compuerta no incrementa el gasto por lo que es entonces precindible la compuerta.

Nótese que esta relación es la misma en el caso de gasto constante, para la carga específica mínima. Esto es, en condiciones de flujo crítico, el tirante es dos tercios y la carga de velocidad un tercio de la Carga Total. Por lo tanto la razón de carga de velocidad y tirante críticos es,

de donde,

y con la raíz cuadrada se obtiene que para condiciones críticas el número de Froude es uno,

Entonces, para flujo subrcítico

, mientras que para flujo supercrítico . Puesto que el flujo crítico es algo inestable, los límites prácticos anteriores son, flujo subrcítico:

Ondas y Salto Hidráulico

Cuando se incrementa súbitamente el gasto al abrir o cerrar una compuerta, o bien cuando se desplaza una frontera para generar olas en un canal, ocurre un transitorio que se propaga aguas arriba o bien aguas abajo y que se puede aproximar con un modelo unidimensional. Para establecer un estado permanente, basta con cambiar de referencia describiendo el flujo relativo a la onda que se deplaza en un referencial fijo. Este cambio se ilustra en la siguiente figura: en (a) se desplaza una pequeña perturbación (i.e. una onda) hacia la izquierda con una velocidad

denominada la celeridad de la onda en un canal donde el líquido está en reposo (i.e. ). En (b) el observador está "montado" en la onda, y en este movimiento relativo se observa una velocidad

hacia la derecha. Este cambio de referencia se realiza vectorialmente si se suma en (a) un vector igual a

hacia la derecha.

Se tiene entonces un estado permanente del flujo para la onda que incrementa el tirante

,

.

Combinando las dos ecs. se obtiene,

Esto es, la celeridad de propagación de una onda infinitesimal depende únicamente del tirante.

Cuando la amplitud de una onda solitaria es finita, pero su valor relativo es menor de 1, entonces su celeridad es mayor, determinada por la siguiente ecuación (despreciando los términos de segundo orden):

En el caso del oleaje en el mar, la longitud de onda es menor con respecto al tirante. El oleaje es generado por los vientos y es una suma de ondas de diversa amplitud, lo que genera un espectro de oleaje. A través de una transformada de Fourier, se puede descomponer el tren de ondas en sus componentes principales. Se demuestra entonces a través de la teoría_linealdel oleaje, que la celeridad del tren de ondas que se ilustra en la siguiente figura

es entonces (para),

Como la longitud de onda de las olas en el oceano es menor que el tirante

, y entonces

Quedando entonces

Es importante hacer notar que la celeridad se mide respecto al líquido. Por lo tanto, si el fluido está en reposo, la celeridad es igual a la velocidad de la onda. Pero si el fluido está con una velocidad

, podrá entonces una onda desplazarse aguas arriba del flujo.

Para el caso de una onda de inundación [+], o bien depresión [-], (i.e. surge) que se genera, por ejemplo, cuando se incrementa (o bien, disminuye) súbitamente el gasto a través de la apertura de una compuerta, o bien, cuando la marea "entra" a un estuario de río generando un mayor nivel del tirante aguas arriba (e.g. el río Severn en Inglaterra), entonces esta de propaga como una ondulación superficial como se muestra en (a) de la siguiente figura, si

Cuando esta razón se aproxima a la unidad (generalmente, alrededor de 0.8) entonces la cresta de la onda "rompe" sobre la superficie, y se genera una discontinuidad como se ilustra en (b).

Se puede entonces analizar la propagación de esta onda de inundación con base en las ecs. de Continuidad y de Conservación de Cantidad de Movimiento, considerando el esquema siguiente,

donde se aprecia que al sumar vectorialmente

hacia la izquierda, se tiene un estado permanente con una velocidad relativa a la onda

hacia la derecha como se ilustra en (b), donde las fuerzas que aplican sobre el volumen de control se atribuyen a la distribución hidroestática de la presión en la entrada y en la salida del flujo.

Entonces por unidad de ancho del canal prismático,

Definiendo la razón de tirantes

entonces se tiene una onda estacionaria que se denomina salto hidráulico, y las ecs. previas son válidas.

En la siguiente figura se aprecia la relación de las variables, y además se nota la pérdida de energía, que se debe a la turbulencia y los remolinos que se generan en la onda.

La siguiente figura grafica los valores adimensionales del tirante, longitud y pérdidas en función del número de Froude: