Leche Homogeneizada

La leche es una emulsión donde los glóbulos de grasa están dispersos en una solución acuosa que contiene lactosa, proteínas y minerales. Puesto que la densidad de la grasa es 800 kg/m^3 (menor que la del agua), tiende a 'subir' hasta arriba del contenedor, y se 'acumula' entoncees una capa de nata (crema). La agitación mecánica 'rompe' los glóbulos de grasa por homogneización, y estabiliza la leche para evitar la formación de nata. El diámetro promedio de los glóbulos se reduce de alrededor de 2 µm (en leche bovina cruda) a 0.2 µm en la leche homogeneizada (McClements, 2005).

Compare los tiempos que se requieren para que todos los glóbulos de grasa suban hasta 'arriba' de un cartón de 20 cm de alto, entre ambos tipos de leche. ¿Se podrá considerar que los glóbulos individuales alcancen casi-inmediatamente su velocidad terminal?

Partículas que se inhalan

Dos mecanismos para el 'depósito' de partículas que se inhalan con el aire al respirar son: la 'sedimentación' gravitacional, y la impactación inercial, ¢ƒ Figura. Si la trayectoria del fluido de repente se 'curvea', e.g. en los bronquios, las partículas relativamente más grandes tienden a tienden a 'continuar' en una trayectoria recti-línea y puede 'impactar' la pared del "ducto". El propósito del problema es la comparación de las tasas de depósito, tanto gravitacional como inercial, ubicados en el 'sistema respiratorio' de los pulmones.

(a). Una medida de la inercia de la partícula es la 'distancia de paro' Ds, que es la distancia que recorre la partícula cuando ya no está sometida a una fuerza de impulso. Para simplificar el análisis, considere que la velocidad inicial es u(0) = u_o en la dirección x , y entonces el fluido (de arrastre) cambia de dirección de manera abrupta en 90º . Puesto que ya no existe un componente x de la velocidad de flujo, la fuerza de arrastre disminuye la velocidad u(t) a cero gradualmente. Este 'proceso' se puede modelar considerando que g = 0 en la ec.

m * du/dt = (rho_o -- rho) * g*Vol -- (π/8)* rho*u^2 * D^2 * C_D

Demuestre que para una partícula de diámetro d y para u_o * d / nu < 1 , [ nu = µ / rho ]

Ds = (rho_o * d^2 * u_o) / (18 * µ)

(b) En un pulmón, existen millones de segmentos de ductos, desde la tráquea hasta los alveolos. De acuerdo con el modelo estándar anatómico, estos segmentos de ducto se bifurcan 23 veces; lo que genera 8.39 E6 "ramales". El diámetro [D], longitud [L] y velocidad [U] en secciones prescritas se dimensionan en la Tabla adjunta (Wang, 2005),

Generación no. de ductos D [cm] L [cm] U [cm/s]

1 2 1.220 4.760 215

4 16 0.450 1.270 202

7 128 0.230 0.760 98

10 1,024 0.130 0.460 37

13 8,192 0.082 0.270 11

16 65,536 0.049 0.112 2.2

19 524,288 0.036 0.070 0.51

22 4,194,304 0.029 0.067 0.099

Una estimación de orden-de-magnitud de la probabilidad de impacto inercial en un segmento dado, es p_i ~ Ds / D . Calcule este parámetro en función de d y de la 'ubicación' . Si un aerosol terapéutico requiere 'llegar profundamente' en los pulmones, explique porqué uno con d = 1 µm o bien 10 µm será más efectivo que uno de diámetro d = 100 µm .

Una densidad típica de partícula es rho_o = 1,000 kg/m^3 y µ = 1.90 E-5 Pa•s y para aire (húmedo) a la temperatura corporal de 37ºC considere rho = 1.11 kg/m^3

(c) La probabilidad de 'sedimentación' gravitacional es aproximadamente la distancia de 'sedimentación' dividida por D; esto es,

p_s ≈ u_s * L / (U*D)

donde u_s es la velocidad terminal de Stokes. Puesto que tanto D_s como u_s varían de acuerdo con d^2 , la importancia relativa entre los dos mecanismos es independiente del tamaño de partícula (en el rango de Stokes). Sin embaro, depende mucho de la 'ubicación'.

Demuestre que p_i / p_s ≈ U^2 / (g*L) = Fr {i.e. un número de Froude} y grafique Fr en función del número de generación.

Dónde en el sistema respiratorio el impacto inercial es más importante que la 'sedimentación' gravitacional?

Floculación

Las partículas se pueden 'agregar' en agua como resultado de su propiedad hidrófoba, o bien por atracción de enlaces de Van der Waals. Estos agregados se denominan flóculos en un proceso que se llama floculación (los aerosoles también se pueden flocular). El objetivo es determinar cómo este mecanismo afecta la depositación gravimétrica. Suponga que una partícula individual es una esfera de diámetro d= 10 µm y su densidad es rho_o = 2,000 kg/m^3.

(a) Evalúe la velocidad terminal u de una partícula.

(b) Suponga que 1,000 partículas forman un flóculo cuasi-esférico de diámetro D. Si el flóculo tiene una porosidad de € = 0.50 , cuál será el diámetro D ?

(c) Si el flóculo descrito en (b) se comporta como una esfera impermeable, cuál será su velocidad terminal U? Cómo se comparan U & u ?

(d) Para verificar que el flujo a través del flóculo es despreciable, se considera que éste es similar a un muy pequeño lecho empacado, y se puede estimar su velocidad superficial. Determine la permeabilidad k del flóculo. Para obtener v_s , considere L= D/2 ; y puesto que Re < 1 utilice una escala de 'cortante' (presión) viscoso para el cálclo de ∆∏. { ∏= p + gamma*z (es la presión dinámica/hidráulica) }. Se tiene que v_s << U ?

Baipasear un Lecho Empacado

Suponga que se utiliza un reactor cilíndrico para el pre-tratamiento de un gas caliente, de diámetro D= 20 cm y longitud de L= 2 m ; y está lleno de un catalizador de partículas esféricas de diámetro d=5 mm. La porosidad de €= 0.35 ; y las propiedades del gas son rho= 0.705 kg/m^3 & µ= 2.71 E-5 Pa·s. La velocidad superficial se considera v_s = 0.5 m/s

(a) Calcule ∆∏ para el lecho empacado.

(b) Suponga ahora que un cambio en la composición del gas implica que ya no se requiere el pre-tratamiento, y se ha decidido baipasear el lecho empacado con un tubo de la misma longitud. Si se requiere mantener la misma ∆∏ para que no se afecte otras unidades de la planta, qué diametro del tubo D_t se requiere? { considere que para el flujo en dicho tubo se está en el rango de Blasius para el cálculo de Re, lo cual hace posible obtener una expresión para x = D_t / D }