Paradoja de D'Alembert

En 1749, el físico y matemático francés Jean le Rond D'Alembert (1717{1783) concluyo (y publico en 1752) su investigación intitulado Ensayo acerca de una nueva Teoría de la Resistencia de los Fluidos donde estudia las líneas de flujo de un fluido a través de un objeto. En este estudio tiene varias ideas originales y nuevas observaciones. Por ejemplo, al considerar al aire como un fluido elástico e incompresible compuesto de pequeñas partículas hizo un primer análisis de un campo de velocidad al considerar la velocidad de esas partículas variando de punto a punto.

Como dijimos ya d'Alembert estudio las líneas de flujo de un fluido a través de un objeto. Así, al admitir el hecho de que la resistencia de las partículas que constituyen el fluido esta relacionada con la perdida de cantidad de movimiento (momento linear) por los impactos con el cuerpo móvil y que, en consecuencia, las fuerzas ejercidas en el frente del objeto deben ser neutralizadas por fuerzas similares en la parte posterior del mismo, demostró el sorprendente resultado de que esa resistencia es nula. De tal manera que pudo armar:

“Un cuerpo moviéndose con velocidad uniforma a través de un fluido no experimenta ninguna resistencia por parte del mismo fluido.”

Sin embargo, dado que experimentalmente se observa una turbulencia detrás del objeto este enunciado fue conocido como la famosa paradoja hidrodinámica o paradoja de d'Alembert.

Para explicar esta paradoja fue necesario entender como ocurre la turbulencia. Los primeros resultados fueron obtenidos por el físico e ingeniero ingles Osborne Reynolds (1842{1912) en sus trabajos publicados en las Philosophical Transactions of the Royal Society of London 174 (1883); A816 (1895). Así, después de examinar el flujo de fluidos viscosos concluyo que existen dos tipos de flujo: uno laminar a relativamente bajas velocidades, en el cual las partículas del fluido se deslizan en capas paralelas a las paredes del conducto (y para el cual vale la ley de velocidades lineales); el otro tipo de flujo es el turbulento a velocidades relativamente altas en la cual las partículas ejecutan un movimiento sinuoso aleatorio variando alrededor de una velocidad media.

En el tratamiento matemático que Reynolds hizo para los dos tipos de flujo demostró que no dependen directamente de la velocidad sino del parámetro

R =(V d)/ v

Donde V es la velocidad promedio del fluido en el conducto de diámetro d y v es la viscosidad cinemática y R el número de reynolds.

Otro paso importante para la comprensión de la turbulencia fue dado por el físico alemán Ludwig Prandtl (1875-1953) en un trabajo publicado en 1904 en el Verhandlungen des III Internationalen Mathematischen Kongresses. En ese trabajo mostró que muchos fluidos pueden ser divididos en dos regiones, una próxima a la superficie de los cuerpos sólidos (paredes de los ductos o bien los cuerpos sumergidos) y otra alejada de esta superficie. Mostró que en la región próxima existe una capa límite el efecto de la viscosidad varía de cero (en la superficie sólida) hasta un valor constante en el extremo del espesor de esa delgada capa. El resto del fluido puede ser tratado como un fluido perfecto.

Con todo, el ingeniero húngaro Theodore von Karman (1881-1963) introdujo en 1911 el concepto de rastro de vértices para ayudar a entender la turbulencia. Sin embargo, como este fenómeno es no-lineal permanece como un problema abierto hasta el día de hoy incluso con la teoría de campo. En consecuencia debemos decir que la paradoja de D’Alembert aun es objeto de investigación.