02-Ec_CCC

El concepto de aceleración (Total) como derivada de la velocidad permite la derivación de aceleraciones Local y Advectiva:

a = Du / Dt = ∂u / ∂t + (u • grad) u = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 = ∑ a_i e_i

En la notación indicial de Einstein para coordenadas Cartesianas,

a_i = ∂u_i / ∂t + u_j ∂u_i / ∂x_j

En el pdf abajo-adjunto se presenta el desarrollo de esta sección, solo se agregan las ecuaciones de Navier-Stokes y la de Euler, tanto en expresión vectorial como inidicial para coordenadas Cartesianas.

Ec. de Navier-Stokes:

- grad p + rho*g + µ*∆^2 u = rho*Du / Dt

- ∂p/∂x_i - dk_i3*rho*g + µ*∂^2 u_i / ∂x_j*∂x_j = rho*Du_i / Dt

Ec. de Euler:

- grad p + rho*g = rho*Du / Dt

- ∂p/∂x_i - dk_i3*rho*g = rho*Du_i / Dt donde dk_i3 es la delta de Kronecker = 1 cuando i=3

= 0 cuando i= 1,2

En estado permanente, para un flujo incompresible de un fluido no-viscoso, y sobre una línea de corriente, la ec. de Euler se integra para obtener la ec. de Bernoulli:

H = Cte. que es la carga Total i.e. energía por unidad de 'peso' [J/N] ~ [m].

Para que la Cte. sea [ J / m^3]~ [Pa],

gamma*H = Cte. i.e. p + gamma*z + (1/2)*rho*U^2 = Cte. gamma= rho*g

Es útil considerar como 'presión hidráulica': P (equivalente a la 'carga hidráulica': h ) a la suma de los dos primeros términos,

P = p + gamma*z donde z es un nivel de elevación respecto a una referencia arbitraria.

Cuando la pérdida de energía por fricción ya no es despreciable, entonces se considera la ec. de la Energía, i.e. la ec. de Bernoulli modificada:

H_1 = H_2 + h_f donde h_f se representa por la ec. de Darcy-Weisbach

h_f = ƒ * (L/D)* U^2 / 2*g & ƒ: factor de fricción de D~W que es función de Re y la rugosidad relativa k/D=RR

Si existen en el sistema de flujo entre la sección 1 & 2 de un ducto ya sea Bombas / Turbinas, entonces las cargas correspondientes se suman del lado izquierdo para h_b , y del lado derecho para h_t :

H_1 + h_b = H_2 + h_t + h_f

Recordando que ƒ = 4*C_f (el coeficiente de Fanning), en la siguiente figura se aprecia C_f = f(Re,RR) que es el diagrama de Moody.

Vale la pena recordar que para el caso de flujo turbulento (i.e. Re < 4E3):

1% < ƒ < 10%

y para flujo laminar:

ƒ = 64 / Re

Las imágenes subsecuentes son del libro de Hunter Rouse "Elementary Mechanics of Fluids" (1946), donde se explica claramente cómo se obtiene la ec. de Poiseuille:

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