01-Analisis_Dim

Las dimensiones que se consideran son,

L : una longitud [m] representativa de la escala

M: la masa [kg]

T: el tiempo [s]

y los grupos que resultan al tomar en cuenta las diversas fracciones de fuerzas, o bien, esfuerzos:

no. de Reynolds ~ inercial/viscoso Re= rho*U*L / µ = U*L / nu

no. de Froude ~ inercial/gravitacional Fr= U^2 / g*L

no. de Weber ~ inercial/tensión-superficial We= rho*U^2*L / sigma

no. de Bond ~ gravitacional/tensión-superficial Bo= rho*g*L^2 / sigma

no. de capilaridad ~ viscoso/tensión-superficial Ca= µ*U / sigma

~~ viscoso/gravitacional Fr/Re= µ*U / rho*g*L^2 = Ca/Bo

Existen varias técnicas para determinar los números adimensionales que son relevantes a un problema particular (e.g. teorema Pi de Buckingham, método de Hunsaker & Rightmire). Restando el número de dimensiones (generalmente, las 3 arriba escritas) de las variables relevantes del problema con dimensión, se obtiene el número de variables adimensionales.

Por ejemplo, para el caso del esfuerzo cortante en un tubo con flujo, la fracción de éste con la presión dinámica es,

tau / (1/2)*rho*U^2 = ƒ(Re) lo cual arroja el factor de fricción de Fanning C_f = ƒ/4 (Darcy-Weisbach)

que experimentalmente permite obtener el notorio Diagrama de Moody.

Pero si en vez de la presión dinámica, se considera la Ley de viscosidad de Newton: tau= µ*U / D para adimensionalizar el esfuerzo cortante en la pared, y se 'desprecia' el efecto de la fuerza inercial representado por la densidad rho, entonces solo se tiene una variable adimensional, ya que el Re no figura:

tau_w*D / µ*U = K

Tanto teóricamente como experimental se tiene que K= 8 .

Otro ejemplo de la aplicación general de esta técnica, es la cuantificación de la energía que se libera por una explosión atómica. En 1950, G.I. Taylor estimó esta energía E con base en una serie de fotografías que permitían cuantificar la expansión de la 'bola de fuego' hemisférica, a partir del radio R como función del tiempo ƒ(t). Como la explosión es 'contra' el aire circundante con densidad rho, la 'frontera' del hemisferio corresponde a un decremento súbito de la presión. Se define entonces dos variables R y t, y dos constantes E y rho, en la evolución del fenómeno.

El teorema Pi define que habrá entonces (4 - 3) una sola variable adimensional, al dividir E por una 'escala' de energía definida por R, t y rho. Esto es,

M*L^2*T^-2 = [R]^a * [t]^b *[rho]^c

al igualar exponentes (de sus respectivas dimensiones) se tiene que,

a= 5 , b= -2 , c = 1

Considerando que la variable adimensional es entonces igual a K,

E / R^5 t^-2 rho = K ¬> E = K* R^5*rho / t^2

como E y rho son constantes, entonces R es proporcional a t^(2/5).

Con la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, y graficando en escalas logarítmicas, Taylor obtuvo,

(5/2)*Log R = (1/2)*Log (E / K*rho) + Log t

La intersección de esta recta con el eje de las ordenadas arroja entonces el valor de E / K*rho.

Con base en el análisis de la dinámica de gases, Taylor estimó que K= 0.86; de donde E= 7.1 E13 J.

Esto es, la energía liberada por una explosión atómica es del orden de 71 TJ. (~ equivalente a 11,600 bbl de petróleo).