Ecuaciones Fundamentales
ECUACIONES FUNDAMENTALES
Ecuación de Continuidad
Consideremos un sistema formado por un volumen V0 de masa en el espacio. Si imaginamos una superficie delimitando V0, la masa del fluido que circula a través de un elemento diferencial de superficie dS es
. Por consiguiente, la masa de fluido que circula a través de toda la superficie es:
i.e
………………….(1)
Por otro lado, por la conservación de la masa establecemos la siguiente ecuación:
mT = mcir + msis ………………(2)
donde mT es masa total que existe dentro y fuera del sistema, mcir es la masa que fluye –ó circula- a través de la superficie S, y msis es la masa dentro del sistema.
Derivando (b) tenemos:
……(3)
………………….(4)
Por el teorema de la divergencia de Gauss, tenemos:
……….(5)
Que sustituyendo en (II)
…………(6)
…………(7)
(6) y (7) son conocidas como las Ecuaciones de Continuidad en su forma integral y diferencial respectivamente, y representan la Conservación de la Masa.
Ecuación de Euler
Dentro de un fluido la fuerza que actuá sobre un elemento diferencial de volumen dV -solo debida al fluido- es:
dF = - P dS ……..(1)
donde P es la presión, y dS es el diferencial de área de dV. El signo – se incluye porque se ha considerado que dS tiene la dirección positiva de una superficie cerrada (apunta fuera de la superficie).
Considerando un volumen V0 de fluido, la fuerza total actuando sobre él, será:
.........(2)
Usando el teorema de la divergencia, transformamos (2) en una integral de volumen:
........(3)
Observando (3), deducimos que la fuerza resultante -solamente debida al fluido- sobre un elemento dV es ( – grad P ). Así, podemos establecer la ecuación de movimiento para un dV considerando un campo gravitatorio. Esto es:
..........(4)
Luego
, desde el punto de vista Euleriano, la velocidad de un fluido es vista como un campo vectorial que depende de las coordenadas espaciales y del tiempo, es decir: U=u(x,y,z,t). Luego, haciendo las operaciones apropiadas se deduce que:
Entonces (4) toma la forma:
.............(5)
que representa la Ecuación de Euler sin pérdidas de energía y en presencia de un campo gravitatorio.
Ecuación de la Hidrostática
Partamos de la ecuación de Euler en presencia de un campo gravitacional:
Si suponemos un fluido en reposo, entonces u = 0 y la ecuación de Euler toma la forma:
…….(1)
De la ecuación anterior se desprende
Que integrando resulta:
……….(2)
Si el fluido en reposo tiene una superficie libre a una altura h, en la cual se aplica una presión externa P0, la solución para P está sujeta a P(h)=P0. Así,
De modo que
Esta última es la ecuación de la Hidrostática.