Análisis Dimensional

ANALISIS DIMENSIONAL

Comúnmente sumamos objetos, animales o personas. Es fácil notar que “lo que sumamos” son cosas del mismo tipo –o bien dimensión-, es decir, sumamos “manzanas con manzanas” y “peras con peras”. Esto en física, se conoce como HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL, y una ecuación que tiene todos sus términos con las mismas dimensiones se llama "Ecuación Completa". El concepto de dimensión es importante en física, en especial en el análisis dimensional. Este análisis consiste en examinar las dimensiones de una ecuación y encontrar ciertos PARÁMETROS ADIMENSIONALES que sustituyan las variables dimensionales para describir el comportamiento de algún fenómeno. Estos parámetros adimensionales son muy comunes en mecánica de fluidos por varias razones:

1.Conducen a grupos reducidos de variables

2.Provee la guía para escalar resultados

3.Son independientes de los sistemas de unidades

4.La presentación de datos adimensionales son más elegantes y atractivos.

Teorema de π de Buckingham

El Teorema de π de Buckingham establece que:

Si se sabe que un proceso físico es gobernado por una relación dimensionalmente homogénea que comprende a n parámetros dimensionales, tales como:

x1 = f (x2, x3,...., xn)

donde las “x” son variables dimensionales, existe una relación equivalente que contiene un número (n - k) de parámetros adimensionales, tales como:

P1 = f’(P2, P3,......,Pn-k)

donde los “P” son grupos adimensionales que se construyen a partir de las “x”. La reducción “k” generalmente es igual al número de dimensiones fundamentales contenidas en “x”, pero nunca mayor que él”.

Prueba del Teorema de π de Buckingham

Supongamos el problema de determinar la caída de presión ΔP en un conducto. Las variables involucradas entonces serán la caída de presión ΔP, la velocidad media U, la viscosidad µ, el diámetro de la tubería D, la longitud del tramo L, la densidad ρ, y la rugosidad de la tubería ε. Nuestro objetivo es determinar ΔP en función de las otras variables:

ΔP = f(ρ , µ, U, L, D, ε) ………… (1)

Como no conocemos la relación entre estas variables, (1) se puede sustituir por una serie infinita de la forma:

Donde K1, K2,….. son coeficientes adimensionales y a1, …b1,…c1,…d1,…,f1…,g1… son los exponentes correspondientes de las variables que cumplen la igualdad.

Sí las dimensiones de ΔP son M/(LT2), por el principio de homogeneidad, cada término del lado derecho tendrá las mismas dimensiones. Así, al hacer el análisis dimensional para algún término del lado derecho, tendremos que:

Que obliga las ecuaciones:

O bien las ecs.

a=1-b

b=b

c=2-b

d=d

f=-b-d-g

g=g

Luego, para “algún término” de (2) tenemos:

(4) muestra que para algún valor arbitrario de b, d y g, las dimensiones de los cocientes no influyen en las unidades del lado izquierdo de la ecuación, pues ρU2 ya tiene las unidades de ΔP. Reescribamos (4):

Con este resultado, (2) se puede reescribir como:

Es decir:

Decimos que (6) es una ecuación adimensional, y además es una función de 3 “Grupos Adimensionales”. Este resultado particular se generalizó en el TEOREMA DE π DE BUCKINGHAM.