Prototipo de alternador de imanes de Neodimio (cálculos)

Diseño del rotor del alternador de flujo axial con imanes permanentes para aplicaciones eólicas

Construcción de un alternador de flujo axial de imanes permanentes de Neodimio 12.000 Gauss, con un pull force (fuerza para separar dos imanes del mismo modelo) de 10.7 libras fuerza, un diámetro de 12.7 mm, un ancho o longitud de 6.35 mm, acoplados a un rotor de giraba a una velocidad de viento entre 4 m/seg y 12 m/seg.

Básicamente, se realizaron en aquel entonces mediciones de la velocidad del viento en una comunidad de la ciudad durante un año; luego, se procedió a los cálculos de diseño para finalmente proceder a la construcción del prototitpo, empleándose para ello un motor de aire ventilador de la condensadora de un aire acondicionado de 12.000 BTU, el cual, fue desarmado para utilizar su carcasa para el alternador de imanes de Neodimio.

Así como el campo gravitatorio está asociado a la atracción de masas (dos cuerpos se atraen en forma directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa), el campo magnético estaría asociado a la atracción de “masas magnéticas”. Pero mientras en el campo gravitatorio sólo hay atracción de masas, en el campo magnético hay atracción y también repulsión. Por ello debió inventarse el concepto de “masa magnética norte” y “masa magnética sur”. Las masas magnéticas norte y sur se atraen entre sí. Pero dos masas magnéticas sur (o norte) se repelen entre sí.

Nomenclatura y conversiones

J = Joule = m²*kg/seg²

F = Fuerza magnetostática = lbf = Newton = m*kg/seg²

T = Tesla = kg/seg²*(A-v)

1 Tesla = 10⁴ Gauss

1 lbf = 4.4482216 Newton (Nw)

B = Densidad de flujo = Gauss = Teslas = kg/seg²*(A-v)

A-v = Amperios vueltas

µ = Permeabilidad magnética absoluta

µ₀= Permeabilidad magnética del aire

µ_r = Permeabilidad magnética relativa

ɸ = Flujo magnético

H = Excitación magnética o intensidad magnétizante

Ꞷ = velocidad angular

Em = Energía magnetostática

B = Densidad de flujo

Bx = es la densidad de flujo magnético a una distancia x de la cara del imán

Br = es la densidad de flujo magnético superficial del imán

A continuación presento cálculos mejorados para la construcción de alternadores de imanes permanentes caseros o industriales previo diseño considerando los aspectos teóricos y prácticos del electromagnetismo. Luego de abandonar los estudios de ingeniería electricista en el Instituto Universitario de Tecnología , la investigación y mi interés por la energía eólica se concentraron en un diseño mejorado para aumentar la potencia eléctrica del prototipo del año 2014.

Según (2002, pp. 355-356) "existen ocasiones en las que es muy conveniente el uso de una máquina sincrónica por sus propiedades de funcionamiento, pero en las que por razones técnico y/o económico, no es viable el uso de un sistema de excitación convencional (devanado inductor + circuito de alimentación). Es por ejemplo, el caso de motores sincrónicos de pequeña potencia alimentados a frecuencia variable con los cuales, además de disponer de mejores rendimientos o de soportar sobrecargas transitorias mayores, se puede conseguir un excelente comportamiento dinámico (tiempo de respuesta reducidos, control de par instantáneo, errores mínimos en sistemas de posicionado, etc) o en el caso de generadores eólicos en los que se exija la posibilidad de funcionamiento en isla (generadores off-shore). En casos como estos, puede ser de utilidad el uso de generadores con imanes permanentes en los que la f.m.m básica para el funcionamiento de la máquina procede de la propia característica de magnetización de los imanes".

"Existen dos configuraciones básicas: máquinas de imanes superficiales y máquinas de imanes interiores. En ésta última configuración, Los imanes se encuentran dispuestos en forma sensiblemente radial en el interior del circuito magnético del rotor y el sentido del campo magnético en ellos es circunferencial, de modo que las líneas de campo magnético alcanzan el entre hierro por los espacios comprendidos entre imanes".

Bajo éste orden de ideas, se seleccionó la teoría publicada en (2010) sobre bobinas en un aerogenerador. Cuando el modelo de aerogenerador es monofásico, se permite cambiar la tensión de salida a voluntad, según como se conecten entre si las bobinas. Hay tantas bobinas como imanes de un disco de hierro, por lo cual hay que planificar bien el tamaño de cada bobina para que quepan todas juntas, entre los imanes.

Para (2010), la idea básica de un generador eléctrico es el movimiento de un imán frente a una bobina. Ese movimiento es circular, pero lo que importa no es la velocidad angular del imán (número de revoluciones por minuto del imán frente a la bobina), sino la velocidad tangencial del imán, que es el producto de la velocidad angular por el radio de giro del imán o distancia radial del imán al eje de giro). Un generador cuyos imanes estén cerca del eje de giro, necesitará más velocidad angular (rpm.) que un generador cuyos imanes estén más alejados del eje de giro.

En un generador sincrónico de flujo axial la relación entre la frecuencia del voltaje generado y velocidad de rotación se describe con la misma expresión del generador sincrónico convencional. En este caso el número de polos corresponde al número de imanes que se emplean en los rotores. El flujo magnético pasa por las bobinas en dirección paralela al eje de la máquina.

En (2011, p.9), "el circuito magnético de una máquina es simétrico si lo on los núcleos magnéticos del rotor y estator y si ambos tienen igual número de polos".

Procedimiento de diseño de un alternador de imanes permanentes propuesto (2010):

11. Selección de cinco (5) imanes de neodimio tipo anillo, grado N35, Br = 11.700 - 12.100 Gauss.

22. Determinación de la energía magnetostática, Em = ½ (B*H)*V*N, donde V es el volumen del imán, N es la cantidad de imanes

33. Cálculo de la potencia eléctrica, P = Em* velocidad angular

44. Cálculo del área del alambre de cobre, A _alambre = π*r²

55. Cálculo del área total, A _total = A _alambre * N _espiras

66. Cálculo del número máximo de espiras, A _total/A _alambre

77. Cálculo del flujo magnético, E_A = Nc* ɸ*velocidad angular,

ɸ = A*B (donde A es el área de las espiras)

B = E_max/Nc*A*velocidad angular (donde E_max es el voltaje generado por una fase)

88. Cálculo del voltaje generado por bobina,

Emax = (N _{max. espiras}*Nº _{bobinas por fase})* ɸ*velocidad angular

99. Pruebas eléctricas al generador

Procedimiento de diseño de un alternador de imanes permanentes propuesto (2007):

11. Elección de los imanes a utilizar

22. Obtención de la relación entre velocidad del viento y coeficiente de potencia de la máquina

33. Especificación de la hélice

44. Definición de polos y bobinas

55. Diagrama de conexión de enrollados de estator

66. Elección del conductor y cálculo de parámetros de estator

77. Cálculo del número de espiras por bobina

88. Dimensionamiento del cuerpo del generador

99. Modelo equivalente de la máquina

El coeficiente de potencia (Cp)

Conforme a los postulados teóricos de Harper (2011, p.225), “La relación final de cuanta potencia del viento puede extraer una turbina de viento, a cuanta potencia está disponible en el viento, se le conoce como coeficiente de potencia. Es el término técnico para la eficiencia, las turbinas menos eficientes (menor valor de Cp) podrían requerir de una mayor área de barrido para obtener la misma potencia con igual viento, que aquellas turbinas que son más eficientes (valor más alto de Cp). El rango de Cp generalmente está entre 0,25 y 0,45 y es adimensional. De acuerdo con el valor de Cp, se ha establecido el concepto de turbina de viento buena y perfecta, y se dice que en forma independiente del fabricante o de la técnica de fabricación, un valor de Cp de 35% (0.35) para una turbina de viento pequeña podría ser excelente, pero si alcanzan valores de 20-30% en la mayoría de los niveles de salida, se puede considerar como buena. En la siguiente tabla, se dan algunos datos útiles para turbinas de viento”:

Cuadro 1: Consideraciones para el Coeficiente de Potencia

De acuerdo en (2005) que, no toda la potencia mecánica que entra en un generador sincrónico se convierte en potencia eléctrica que sale de la máquina. La diferencia entre la potencia de entrada y la potencia de salida representa las pérdidas en la máquina (pérdidas misceláneas, pérdidas por fricción y rozamiento con el aire, pérdidas en el núcleo, pérdidas en el cobre).

Diseño del rotor del alternador de flujo axial con imanes permanentes para aplicaciones eólicas

Imanes de Neodimios seleccionados

Datos físicos del imán

Calidad: N50

Gauss: 14.000-14.600

Tesla: 1.40 - 1.46

(B*H) max: 374-406 kJ/metros cúbicos

Nota: En (2008), el significado físico del producto B.H es el siguiente: Analizando el producto dimensionalmente se llega a la siguiente conclusión:

B [Wb/m²] * H [A/m] = B*H [Wb.A/m³] Pero Wb = Volt.s, entonces:

B*H [Wb.A/m³] = B*H [V.A.s /m³] = B*H [W.s / m³] = B*H [Joule / m³]

Entonces, el producto B*H tiene dimensión de energía por unidad de volumen.

Para cualquier punto de la curva de desmagnetización de un material magnético, el producto de las coordenadas B y H de dicho punto, indica la cantidad de energía que 1 m³ de dicho material puede imponer al espacio cuando está polarizado para trabajar en dicho punto. El producto de energía asociado a un punto de la curva de desmagnetización puede representarse gráficamente como el área del rectángulo determinado por dicho punto y los ejes de coordenadas. A medida que el punto de trabajo se acerca a uno de los ejes, el área del rectángulo tiende a ser nula. El área máxima de rectángulo estará asociada a un punto intermedio de la curva

Temperatura de servicio máximo: < 80 ºC

Br = 14.000 Gauss = 1,40 T = 1,40 kg/seg²*(A-v)

Medidas: 30 mm* 20 mm* 10 mm

El rotor estará construido sobre una superficie circular, es decir, un disco de 80 mm o 0.08 m.

Cálculo del área de cada imán

El área de cada imán equivale al área de un prisma rectangular. El área de un prisma rectangular se calcula sabiendo los lados de la base rectangular (a y b) y su altura (h). Su área se calcula por la siguiente fórmula:

Área = 2*( a*b + a*h + b*h)

siendo a y b los lados diferentes de la base y h la altura

A = 2*(0,02*0,01 + 0,02*0,03 + 0,01*0,03)

A = 2*(0,0002 + 0,0006 + 0,0003)

A = 2*(0,0011)

A = 0.0022 metros cuadrados

Cálculo del volúmen de cada imán

V = a*b*h

V = (0.03)*(0.01)*(0.02)

V = 6*10^-6 m³

Cálculo de parámetros en el entrehierro

Se tuvo que calcular el área del entre hierro según los postulados teóricos de (2008, p.28) con las siguientes formulas:

Bim.Aim - Beh.Aeh = 0

Bim = µ₀* Heh. Aeh / Aim

Bim = (-µ₀* Lim Aeh /Leh. Aim) Him

Donde:

Beh = Densidad de flujo en el entre hierro

Heh = Intensidad del campo magnético en el entre hierro

Aeh = Área del entre hierro

L_eh = longitud del entrehierro

B_im = Densidad de flujo magnético superficial del imán

H_im = intensidad del campo magnético en el imán

A_im = Área del imán

L_im = Longitud del imán

µ0= Permeabilidad magnética del aire

Beh = Bx = es la densidad de flujo magnético a una distancia x (distancia del entre hierro) de la cara del imán

En (2012, p.38), cuando se está en la fase de diseño, el factor de potencia no se conoce pero se puede estimar a priori. De esta manera, se consideró el supuesto de que cosα = 0,93 inductivo, que es un valor clásico para máquinas sincrónicas.

Bx = B*cosα = (1,40 T)*(0,93) = 1.302 T

B_eh = µ₀*H_eh

µ_{0 =} 4π*10^-7 Henrios/m

B_eh = µ₀*H_eh

H_eh = B_eh/µ₀ = 1.302 T

4π*10^-7 Henrios/m

H_eh = 103,66 *10⁷ A-v/m

Aeh = Área del entre hierro. Por ser el rotor un disco de acero cuyo diámetro es de 80 mm donde están colocados unos imanes de neodimio que girarán proyectando un voltaje inducido alrededor de otro disco de acero de 80 mm de diámetro que poseerá unas bobinas, se entenderá entonces que el área del entrehierro es un área de una circunferencia igual al diámetro de la carcasa que es de 90 mm. Esto se asume ya que las líneas de flujo del campo magnético que se proyectan desde el rotor no pasarán de la carcasa y si llegarán a las bobinas ubicadas en el estator, por lo tanto:

A_eh = π*r²

A_eh = π*(0,045 m)²

A_eh = 6,36*10^-3 m²

B_im = µ₀* Heh. Aeh / Aim

B_im = (4π*10^-7 Henrios/m)*(103,66 *10⁷ A-v/m)*( 6,36*10^-3 m²)

0, 0022 m²

B_im = 3.763,87 T

Bim.Aim - Beh.Aeh = 0

(3.763,87 T)*(0, 0022 m²) - (1.302 T)*(6,36*10^-3 m²) = 0

8,280 T* m² – 8,280 T* m²

(se cumple la condición planteada)

A los fines didácticos, de (2008) también explica que cuando la permeabilidad del núcleo magnético es muy grande en relación a la del aire del entrehierro, es decir supondremos que: H_h.L_h << H_eh.L_eh, entonces queda lo siguiente:

H_im.L_im + H_eh.L_eh = 0

H_im.L_im = - H_eh.L_eh

H_im = - H_eh.L_eh /L_im

De esta última ecuación se deduce que:

A mayor longitud de entrehierro, mayor campo desmagnetizante en el imán.

A mayor longitud de imán, menor campo desmagnetizante en el mismo.

En (2014, p. 29), se plantea que para un R dado, el potencial vector alcanzaría un máximo para una x concreta, de lo cual, queda la siguiente ecuación:

R = raíz de 2*x

R = 0,045 m

x*(raíz de 2) = R

x = R

(raíz de 2)

x = 0,045 m

(raíz de 2)

x = L_eh = 0,03 m

H_im = - H_eh.L_eh /L_im

H_im = - (103,66 *10⁷ A-v/m)*(0,03 m)

0,03 m

H_im = -103,66 *10⁷ A-v/m

H_im.L_im + H_eh.L_eh = 0

(-103,66 *10⁷ A-v/m)*(0,03 m) + (103,66 *10⁷ A-v/m)*(0,03 m) = 0

-3,1098*10⁷ + 3,1098*10⁷ = 0

(se cumple la condición)

Parámetros:

µ_{0 =} 4π*10^-7 Henrios/m

H_eh = 103,66 *10⁷ A-v/m

A_eh = 6,36*10^-3 m²

L_eh = 0,03 m

A_im = 0, 0022 m²

B_eh = 1.302 T

B_im = 3.763,87 T

L_im = 0,03 m

H_im = -103,66 *10⁷ A-v/m

La distancia del entrehierro es importante porque al final nos indica cuan cerca o separados deben estar los imanes del estator para poder realizar de una manera óptima su proceso de generación de electricidad. Al respecto, en (2008, pp.25-28) explica lo siguiente:

Las curvas de magnetización, se trazan colocando la muestra en un circuito magnético cerrado, es decir, que el flujo del imán queda cortocircuitado por un circuito ferromagnético de muy baja reluctancia. Por tal motivo, luego de saturar la muestra el campo vuelve a cero (la corriente de la bobina inductora es nula), el imán queda con una inducción remanente Br (ordenada al origen del diagrama B-H). Pero en la mayoría de las utilizaciones prácticas de los imanes, el flujo no está en corto circuito sino que debe atravesar un entrehierro. La inducción B sigue siendo positiva (la remanencia del imán mantiene el flujo magnético en el mismo sentido en que se magnetizó en el primer cuadrante), pero dentro del imán aparece un campo desmagnetizante –Him, en sentido opuesto al campo inductor que originalmente magnetizó el material. Por tal motivo (B positivo y H negativo), el imán adopta un punto de trabajo en el segundo cuadrante de la curva de desmagnetización.

Suele utilizarse el recurso didáctico de comparar un circuito magnético con uno eléctrico para facilitar la comprensión de los fenómenos asociados. Salvando las obvias diferencias, puede compararse el flujo magnético con una corriente y la fuerza magneto motriz con una tensión. Así como en un circuito eléctrico la misma corriente recorre todo un circuito cerrado con el mismo sentido, en un circuito magnético el flujo “recorre” todo el circuito magnético con el mismo sentido. Siguiendo con la analogía, el imán del circuito magnético puede compararse con una fuente de corriente que en lugar de hacer circular corriente, hace “circular” flujo magnético. Así como la corriente que circula por una resistencia genera una caída de tensión eléctrica proporcional a la corriente, el flujo magnético que “circula” por un entrehierro genera un campo magnético proporcional al flujo. En un circuito eléctrico cerrado, la suma de las caídas de tensión a lo largo del mismo son nulas.

Cuanto más alta es la resistencia, mayor tensión deberá desarrollar la fuente si se pretende mantener la corriente. Cuanto mayor sea la longitud del entrehierro, mayor campo desmagnetizante H deberá aparecer dentro del imán para mantener el flujo. Deben siempre tenerse presentes las limitaciones de la analogía planteada. Mientras un circuito eléctrico eroga una determinada potencia (tensión por corriente) un circuito magnético con un imán permanente no eroga potencia alguna, aunque sí impone una cierta cantidad de energía en el espacio.

El punto de la curva de desmagnetización en que se va a operar el imán una vez colocado en un circuito magnético determinado, es decir los valores de B y H que efectivamente van a existir dentro del mismo, dependen de la geometría del imán, del núcleo y del entrehierro.

Cálculo de la energía magnetostática

Teóricamente el imán seleccionado tiene un (B*H) max: 374-406 kJ/metros cúbicos. Sustituyendo el máximo valor se tendría lo siguiente:

Em = ½ (B*H)*V*N, donde V es el volumen del imán, N es la cantidad de imanes

Em = ½* (406.000 Joule/m³)*6*10^-6 m³*(4)

Em = 4,872 Joule

Cálculo de la permeabilidad

µ = Bim

Him

µ = 3.763,87 T

103,66 *10⁷ A-v/m

µ = 36,31*10^-7 Henrios/m

Cálculo de la potencia eléctrica

P = Em* velocidad angular

Cuadro 2: Potencia eléctrica en el rotor

Diseño del estator del alternador de flujo axial con imanes permanentes para aplicaciones eólicas.

El estator estará construido sobre una superficie circular, es decir, un disco de 80 mm o 0.08 m de diámetro.

Cálculo de las espiras para las bobinas

Se utilizará un alambre de cobre de área 0,204 mm² (calibre 24) de diámetro 0,5106 mm. En acuerdo de (2007, p. 38), se requiere que las bobinas puedan enlazar la totalidad del flujo magnético generado por los imanes, por tanto deben poseer un área mayor que las que poseen los imanes.

Área = 2*( a*b + a*h + b*h)

siendo a y b los lados diferentes de la base y h la altura

a = 22 mm = 0,022 m

b = 10 mm = 0,010 m

h = 30 mm = 0,030 m

Abobina = 2*(0,022*0,01 + 0,022*0,03 + 0,01*0,03)

Abobina = 2*(0,00022 + 0,00066 + 0,0003)

Abobina = 2*(0,00118) = 0,00236 metros cuadrados

A _alambre = 0.000204 metros cuadrados

A _bobina = A _alambre * N _espiras

N _espiras = A _bobina = 0,00236 = 11,57 = 12 espiras

A _alambre 0,000204

Según (2006), se tiene las siguientes consideraciones:

-Número de espiras por bobina = Nb = 12 espiras

-Número de bobinas por fase = Mb = 2 (por ser monofásico el generador, para cada imán corresponde una bobina, lo que resultarían cuatro en total, distribuyéndose dos bobinas en una fase)

-Número de espiras por fase = Nc = 2*12 = 24 espiras

Nb = Nc

Mb

Cálculo del voltaje inducido

E _A= Nc*ϕ*velocidad angular

Raiz de 2

Nc = 24

Φ = flujo magnético

Φ = A*Bx_fase

A = área de las espiras por fase = A _alambre

A _alambre = 0.000204 metros cuadrados

Como se requiere saber el voltaje pico por fase, se multiplicó Bx por 2 porque es el número de bobinas por fase

Bx_fase = (1.302 T)*(2) = 2.604 T

Φ = (0.000204 m²)*(2.604 T)

Φ = 0,531216 webers

E _A= (24)*(0,531216 webers)*velocidad angular

Raiz de 2

E _A= (12,749184)*velocidad angular

1,414213562

E _A= 9,015034463*velocidad angular

Otra forma de calculo del voltaje inducido es la siguiente ecuación planteada en (2000), que plantean lo siguiente:

E_ind = 2p*2N_b*B_ent*velocidad angular*1*(D0² – D1²)

2 4

Donde:

Eind : Valor máximo de la tensión inducida en una fase (Volts)

P: Número de pares de polos = 2

Nb: Número de vueltas por bobina = 12 espiras

Bent: Densidad de flujo magnético en el entrehierro (Teslas) = B_eh = 1.302 T

D0 : Diámetro externo del rotor (m) = 0,08 m

D1 : Diámetro interno del rotor (m) = 0,08 – 0,02 – 0,02 = 0,04

E_ind = 2(2)*2(12)*(1302 T)*velocidad angular*1*(0,08² – 0,04²)

2 4

E_ind = 124.992*velocidad angular*(6,4*10^-3 – 1,6*10^-3)

8

E_ind = 15.624*velocidad angular*(4,8*10^-3)

8

E_ind = 9,3744*velocidad angular

Para los efectos de calculo, se consideró el menor valor obtenido.

Cuadro 3: Generación de voltaje en el estator

Cálculo de la potencia eléctrica inducida

Para continuar con los cálculos, se estableció el valor de la potencia inducida al estator.

Em_inducida = ½ (B*H)*V*N, donde V es el volumen del imán, N es la cantidad de imanes por fase

Em_inducida = ½ (406.000 Joule/m³)*(6*10^-6 m³)*(2)

Em_inducida = 2,436 Joule

P_{eléctrica inducida} = (2,436 Joule) *velocidad angular

Cuadro 4: Potencia inducida desde el rotor hasta el estator

P = V_fase*I_fase* cosα

cosα = 0,93

I_fase = P

V_fase* cosα

Cuadro 5: Corriente de fase en el estator

Como puede apreciarse en los resultados expuestos, la corriente de fase se mantiene igual a medida que aumentan las revoluciones por minuto de la máquina sincrónica ya que en el diseño las bobinas en el estator están conectadas en serie.